檢視单调函数的原始碼

[[File:单调函数.jpeg|有框|右|<big></big>[http://img.gaosan.com/upload/201911/20191125092039830.jpg 原图链接][http://www.gaosan.com/gaokao/262748.html 来自 高三网 的图片]]]

'''单调函数'''指的是在不强调区间的情况下，对于整个定义域而言，[[函数]]具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。举个例子，反比例函数是一个具有单调性的函数，而不是一个单调函数，因为在反比例函数的定义域上，并不呈现整体的单调性。单调函数只是单调性函数中特殊的一种。区间具有单调性的函数并不一定是单调函数，而单调函数的子区间上一定具有单调性。具有单调性函数可以根据区间不同而单调性不同。<ref>[http://www.gaosan.com/gaokao/262748.html 函数单调性的定义]，高三网，2019-11-25</ref>

==定义==

一般地，设函数的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1>x2时都有f(x1)≥f(x2)，那么就说在这个区间上是增函数(另一说法为单调不减函数)。如果f(x1)>f(x2)，那么就说在这个区间上是严格增函数（另一种说法是增函数）。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1>x2时都有f(x1)≤f(x2).那么就是f(x）在这个区间上是减函数(另一种说法为单调不增函数)。如果f(x1)<f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是严格减函数（另一种说法是减函数）。

为了回避歧义，下文采取单调不减函数，严格增函数，单调不增函数，严格减函数等术语。如果函数y=的单调区间，在单调区间上增函数的函数图像是上升的，减函数的函数图像是下降的。

==注意==

函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

==判定方法==

判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法。

==定义法==

设任意x1、x2∈给定区间，且x1<x2，计算f(x1)- f(x2）至最简。【最好表示为整式乘积的形式】判断上述差的符号。

==求导法==

利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是严格增函数，导函数值小于0，说明是严格减函数，前提是原函数必须是连续的。当导数大于等于0时也可为增函数，同理当导数小于等于0时也可为减函数。

==推广==

现代[[数学]]中，在有序集合之间的函数是单调（monotone）的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在[[微积分]]中，后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。

在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语"递增"和"递减"，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。

设f: P → Q为一函数映射，是在两个带有偏序的集合 P 和 Q 之间的函数映射。

如果x ≤ y 蕴涵 为单调（monotone）函数，也叫做isotone 或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质x ≤ y 蕴涵 ≥ ，对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。

常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是全序集，则 f 必定是常量函数。

单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入（x ≤ y当且仅当f(x) ≤ f(y) 的函数）和序同构（双射序嵌入）。

==视频==
===<center> 单调函数 相关视频</center>===
<center>函数的单调区间的求法</center>
<center>{{#iDisplay:a0178mp1chj|560|390|qq}}</center>

<center>函数的单调性(1)(2)</center>
<center>{{#iDisplay:l1412ly6nsz|560|390|qq}}</center>

==参考文献==
[[Category:310 數學總論]]