檢視数列的原始碼

{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center>'''数列'''<br><img src="https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%2Ffileroot_temp2%2F2021-2%2F18%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c7283%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c72831.gif&refer=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1662279888&t=0acbc86f8cfd90ec56c7d06157576a1c" width="280"></center><small>[https://www.renrendoc.com/paper/114147489.html 圖片來自人人]</small> 
|}'''数列'''（sequence of number），是以[[正整数集]]（或它的有限[[子集]]）为[[定义域]]的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

著名的数列有[[斐波那契数列]]，[[三角函数]]，[[卡特兰数]]，[[杨辉三角]]等。<ref>[https://www.bilibili.com/read/cv2765265/?ivk_sa=1024320u 【转载】数列通项公式—常见9种求法(一)]哔哩哔哩</ref>
==由来==
===三角形数===
传说古希腊[[毕达哥拉斯]]（约[[公元前]]580-约公元前500年）<ref>[https://kaoyan.koolearn.com/20210514/1444348.html 毕达哥拉斯(古希腊数学家、哲学家)-希腊人物专题]博雅文化旅游网</ref>学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过：

由于这些数可以用如图1所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。
===正方形数===
类似地，被称为正方形数，因为这些数能够表示成[[正方形]]。因此，按照一定顺序排列的一列数称为数列。
==概念==
===函数解释===
数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和[[值域]]上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.[[解析法]]。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有[[解析式]]，同样数列也并非都有[[通项公式]]。
===一般形式===
数列的一般形式可以写成简记为{an}。

项数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是[[复数]]。

用符号{an}表示数列，只不过是“借用”[[集合]]的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
==分类==
（1）有穷数列和无穷数列：

项数有限的数列为“[[有穷数列]]”（finite sequence）；项数无限的数列为“[[无穷数列]]”（infinite sequence）。

（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做[[递增数列]]；如：1，2，3，4，5，6，7；

2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做[[递减数列]]；如：8，7，6，5，4，3，2，1；

3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）；

（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做[[周期数列]]（如[[三角函数]]）；

（4）常数数列：各项相等的数列叫做[[常数数列]]（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
==公式==
（1）通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如。[[数列通项公式]]的特点：1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的[[递推公式]]。数列递推公式特点：1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。
==等差数列==
===定义===
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个[[常数]]，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
===通项公式===
an=a1+(n-1)d

其中，n=1时 a1=S1；n≥2时 an=Sn-Sn-1。

an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b。
===等差中项===
由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A=(a+b)÷2。
===前n项和===
[[倒序相加法]]推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n个）=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2。

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=2na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
===性质===
（1）任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。

（2）从等差数列的定义、[[通项公式]]，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。

（4）对任意的k∈N*，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。
===应用===
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m，am=n，则am+n=0。其于数学的中的应用，可举例：快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个，算法不止一种，这里介绍用数列算令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6；于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。
==等比数列==
===定义===
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做[[等比数列]]（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的[[公比]]（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
===等比中项===
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的[[等比中项]]。

有关系：；。

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为[[相反数]]，所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。
===通项公式===
（其中首项是，公比是q）；

(n≥2)。
===前n项和===
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为：；

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为：；

前n项和与通项的关系：；（n≥2）。
===性质===
（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则；

（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

（4）等比中项：q、r、p成等比数列，则，则为等比中项。

记，则有。

另外，一个各项均为[[正数]]的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做[[指数]]构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5) 等比数列前n项之和；

(6)任意两项的关系为；

(7)在等比数列中，首项与公比q都不为零。
===应用===
等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式---[[复利]]。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的[[利滚利]]。按照复利计算本利和的公式：本利和=[[本金]]*(1+利率)^存期。
==等和数列==
“[[等和数列]]”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列，它的性质是：必定是循环数列。
==参考文献==

[[Category:310 數學總論]]