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丢番图逼近
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[[File:丢番图逼近.jpeg|有框|右|<big></big>[https://www.kfzimg.com/G06/M00/20/41/p4YBAFqaTa-AeV6EAAAatC-Ul_o988_s.jpg 原图链接][https://search.kongfz.com/product_result/?key=%E4%B8%A2%E7%95%AA%E5%9B%BE%E9%80%BC%E8%BF%91&status=0&_stpmt=eyJzZWFyY2hfdHlwZSI6ImFjdGl2ZSJ9 来自 孔夫子旧书网 的图片]]] '''丢番图逼近'''指的是在数论中，探讨以有理数逼近实数的课题，逼近的程度通常以该有理数的分母衡量。<ref>[https://blog.csdn.net/Feynman1999/article/details/82156127 数论概论读书笔记 33.丢番图逼近]，CSDN技术社区，2018-08-28</ref> ==理论介绍== 所谓丢番图逼近即研究种种有理逼近的一个数论分支，因为它与丢番图方程的研究密切相关，所以人们称之为丢番图逼近，或将这类问题称为丢番图分析。它还与[[几何学]]有密切关系，为此，将设置数的几何条目。中国古代对丢番图逼近上很有贡献的，例如，何承天与祖冲之就曾分别建议用22/7（约率）与355/113（密率）来近似计算圆周率π。这两个数都是π都所谓渐近分数（见连分数）。355/113的下一个渐近分数为52163/16604，再下一个为103993/33102，太复杂了。因此，密率数是π极好的有理逼近。 ==说明== 数论的一个分支，以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、[[复数]]、[[代数]]数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果：如果α是任意实数，Q是大于1的实数，那么存在整数对p、q，满足两个不等式： 。当α是有理数时，上式不成立。 1891年，A.胡尔维茨将上式改进为不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式有无穷多对整数解。丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数。 1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有。以后一些[[数学家]]不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。 1909年，A.图埃得到。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间，F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年，K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数，其次数 d≥2，那么对于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。 用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。 ==相关介绍== 刘维尔定理与 Roth 定理 刘维尔定理可用以直接构造超越数。在这之前，数学家们已藉连分数导出关于[[平方根]]与其它二次无理数的许多逼近性质。这个结果后来由 Axel Thue 等人改进，并导致 Roth 定理：将刘维尔定理中的指数 n 由代数数的次数缩减到任意的 2+ε（其中 ε>0）；之后 Schmidt 将此推广到同步逼近。这些证明颇困难，而且不能得到明确的上界，这在应用上是一大缺憾。 均匀分布 取一实数序列 并考虑其真分数部份；或者抽象地说是考虑 R/Z，这在拓扑学上是个一维圆环 S1。对圆环上的任一段区间，我们研究有限集 {an:N<-N} 中有多大比例落在该区间，并考虑此比例与区间长度之关系。“均匀分布”意味着当 N→∞，此比例将趋近我们“期望”的值。Hermann Weyl 证明了这等价于该序列元素的指数和之上界，这表明了丢番图逼近与指数和相消的一般问题密切相关，后者在解析数论的误差项估计中无所不在。 其它面向 在 Roth 定理以后，丢番图逼近的主要进展与超越理论相关。均匀分布关乎分布的不规则性，因而带有组合学的本性。丢番图逼近中仍有陈述简单却悬而未解的问题，例如勒特伍德猜想。 ==视频== ===<center> 丢番图逼近 相关视频</center>=== <center>希望杯竞赛题，不定方程，也叫丢番图方程</center> <center>{{#iDisplay:m32075t38pu|560|390|qq}}</center> <center>古希腊数学家丢番图的墓志铭， 列方程解决数学问题，阳光微课堂为你助力！</center> <center>{{#iDisplay:d3211o83vw0|560|390|qq}}</center> ==参考文献== [[Category:310 數學總論]]
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