納維-斯托克斯存在性與光滑性檢視原始碼討論檢視歷史
納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關納維－斯托克斯方程其解的數學性質有關的數學問題，是美國克雷數學研究所在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的一個問題。[1]
納維－斯托克斯方程是流體力學的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。
許多納維－斯托克斯方程解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維坐標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様的解存在時，其動能有其上下界，這就是「納維-斯托克斯存在性與光滑性」問題。
由於了解納維－斯托克斯方程被視為是了解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關信息的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題。
證明或反證以下的敘述： 在三維的空間及時間下，給定一啟始的速度場，存在一矢量的速度場及標量的壓強場，為納維－斯托克斯方程的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全局定義的特性。
納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運動。不同於代數方程，這些方程不尋求建立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關係，而尋求建立這些量的變化率或通量之間的關係。用數學術語來講，這些變化率對應於變量的導數。其中，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明，加速度（速度的導數，或者說變化率）是和內部壓力的導數成正比的。
這表示對於給定的物理問題，至少要用微積分才可以求得其納維-斯托克斯方程的解。實用上，也只有最簡單的情況才能用這種方法獲得已知解。這些情況通常涉及穩定態（流場不隨時間變化）的非紊流，其中流體的粘滯係數很大或者其速度很小（低雷諾數）。
對於更複雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統或機翼的升力，納維-斯托克斯方程的解必須藉助計算機才能求得。這個科學領域稱為計算流體力學。
雖然紊流是日常經驗中就可以遇到的，但這類非線性問題極難求解。克雷數學學院於2000年5月21日設立了一個$1,000,000的大獎，獎勵任何對於能夠幫助理解這一現象的數學理論作出實質性進展的任何人。