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在[[数论]]中,'''三胞胎素数'''(也称为'''三生素数''')是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]],它的名字也正是由此而来。 == 定义 == 正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类: A类,中间一个素数与前面一个素数相差2,与后面一个素数相差4,即素数p,p+2,p+6,例如,11,13,17;B类,中间一个素数与前面一个素数相差4,与后面一个素数相差2,即素数p,p+4,p+6,例如13,17,19. == 公式 == === A类三胞胎素数 === 为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数,可以利用一下的定理:“若自然数A-2, A, A+4都不能被不大于(A+4)½的任何素数整除,则A-2, A与A+4都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实:如果一个自然数A不能被不大于(A)½的任何素数整除,则A是素数。 考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前''k'' 个素数p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,...,p<sub>k</sub>。解方程: A=p<sub>1</sub>m<sub>1</sub>+g<sub>1</sub>=p<sub>2</sub>m<sub>2</sub>+g<sub>2</sub>=...=p<sub>k</sub>m<sub>k</sub>+g<sub>k</sub>(1) 其中<math>g<sub>i</sub>≠0,g<sub>i</sub> ≠2,g<sub>i</sub>≠ p<sub>i</sub>-4(保证A-2, A, A+4都不能被任一个素数整除),1<g<sub>i</sub>< p<sub>i</sub>- 1。 如果解出A<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-4,则A-2,A与A+4是一组三胞胎素数。 我们可以把(1)式内容等价转换成为[[同余]]方程组表示: :A ≡ g<sub>1</sub> (modp<sub>1</sub>), A ≡g<sub>2</sub>modp<sub>2</sub>), ...,\A ≡ g<sub>k</sub>modp<sub>k</sub>(2) 由于(2)式的模p<sub>1</sub>、p<sub>2</sub>、……、p<sub>k</sub> 是素数,两两互素,根据[[孙子定理]](中国剩余定理)知,对于给定的g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub>, ..., g<sub>k</sub>,(2)式在p<sub>1</sub> p<sub>2</sub>...p<sub>k</sub>范围内有唯一解。 === A类三胞胎素数的例子 === 例如k=2时,A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1,解得A=7, 13, 19。这三个素数都满足A<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-4的条件:7, 13, 19<5<sup>2-4,因此,这三个素数所对应的素数组: :7-2,7与7+4; :13-2,13与13+4; :19-2,19与19+4 都是三胞胎素数组。 这样,就求得了区间(5, 5<sup>2</sup>)中的全部A类三胞胎素数。 又如当k=3时,设有方程组A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+3,解得A=13 与A=43。其中出现一个新的素数43,而43<7<sup>2</sup>-4。因此,43-2,43与43+4也是一组三胞胎素数。 又比如求解方程组A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+4,解得A=19,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。 由于余数不能是0、2或对应的素数减去4,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算已经求得了区间(7,7<sup>2</sup>)的全部A类三胞胎素数。 {| class="wikitable" |- ! k=4时 !! 7m<sub>4</sub>+1!! 7m<sub>4</sub>+4!! 7m<sub>4</sub>+5!! 7m<sub>4</sub>+6 |- | A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+3|| 43 || 193 || 103 || 13 |- |A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+4 || 169 || 109 || 19 || 139 |} 已经得到区间(11,11<sup>2</sup>)的全部A类三胞胎素数 === B类三胞胎素数 === 对于B类的三胞胎素数,也可以用类似的结论:“若自然数B-4, B, B+2都不能被不大于{B+2}½任何素数整除,则B-4, B与B+2都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。 于是同样地,考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前''k'' 个素数p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,...,p<sub>k</sub>。解方程: :B=p<sub>1</sub>m<sub>1</sub>+j<sub>1</sub>=p<sub>2</sub>m<sub>2</sub>+j<sub>2</sub>=...=p<sub>k</sub>m<sub>k</sub>+j<sub>k</sub>(3) 其中j<sub>i</sub>≠0 、j<sub>i</sub>≠4、j<sub>i</sub>≠p<sub>i</sub>- 2 。 而如果B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2,则B-4, B与B+2是一组三胞胎素数。 我们可以把(3)式内容等价转换成为同余方程组表示: :B ≡j<sub>1</sub>(modp<sub>1</sub>), B ≡j<sub>2(</sub>modp<sub>2</sub>), ..., B ≡j<sub>k(</sub>modp<sub>k</sub>)(4) 同样地,由于(4)式中的模p<sub>1</sub>、p<sub>2</sub>、……、p<sub>k</sub>是素数,两两互素,根据[[孙子定理]](中国剩余定理)知,对于给定的j<sub>1</sub>, j<sub>2</sub>, ..., j<sub>k</sub>,(4)式在p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>k</sub>范围内有唯一解。 === B类三胞胎素数的例子 === 例如k=2时,B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2,解得B=11,17。这两个素数都满足B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2的条件:11, 17<5<sup>2</sup>-2,因此我们得到两组B类三胞胎素数: :11-4,11与11+2; :17-4,17与17+2; 这样,就求得了区间(5, 5<sup>2</sup>)中的全部B类三胞胎素数。 又比如当k=3时,解方程组B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+2,解得B=11,41。这两个素数都满足B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2的条件:11, 41<7<sup>2</sup>-2,因此我们得到一组新的B类三胞胎素数: :41-4,41与41+2。 而解方程组B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+2,得B=17,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。 由于余数不能是0、4或对应的素数减去2,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算 已经求得了区间(7, 7<sup>2</sup>)的全部B类三胞胎素数。 {| class="wikitable" |- ! k=4时 !! 7m<sub>4</sub>+1 !! 7m<sub>4</sub>+2 !! 7m<sub>4</sub>+3 !! 7m<sub>4</sub>+6 |- | B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+1 || 71 || 191 || 101 || 41 |- | B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+2 || 197 || 107 || 17 || 167 |}已经求得了区间(11, 11<sup>2</sup>)的全部B类三胞胎素数。 仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数,并且一个不漏地求得。 == 三胞胎素数猜想 == 有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?这个问题迄今尚未解决。同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。
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