檢視分解因式的原始碼

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| style="background: #FF2400" align= center|  '''<big>分解因式</big>'''
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中文名;因式分解 

外文名;Factorization

性质;一个多项式化为几个最简整式的积

意义;中学数学中最重要的恒等变形之一

特性;方法灵活，技巧性强

作用;提高综合分析和解决问题的能力
|}

把一个多项式在一个范围(如实数[[范围]]内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式'''分解因式'''。<ref>[https://wenku.so.com/d/a50d30c452f861b00b03afa9361e0ab0 分解因式全部方法],360文库 , 2022年1月13日</ref>

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的[[因式分解]]，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等[[数学]]之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的[[四则运算]]，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

==相关结论：==

基本结论：分解因式为整式乘法的逆过程。

高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易。

1）因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和[[一元二次方程]]，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2） 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x⁴+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条[[定理]]：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)

3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找[[公因式]]的问题。

4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

==分解一般步骤==

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的[[多项式]]都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，[[十字相乘]]试一试，分组分解要合适。

==原则==

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到[[实数]]时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

==分解方法==

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称[[多项式]]，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

==提公因式法==

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为[[正数]]。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式；

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因 式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数[[相同]]。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

例：

注意：把不叫提公因式，因为括号内不得用分数

==公式法==

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

分解公式：

1、平方差公式：

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

2、完全平方公式：

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是[[三项式]]，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的

形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。

推广：

(1)即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。

(2)即四数和的[[平方]]，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。

即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。

(3)

(4)

3、立方和公式：

即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。

推广：三项立方和公式：

即三数之和，乘它们的[[平方]]和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

变形：

4、立方差公式：

即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。

变形：

5、完全立方公式：

即两数之和(差)的立方等于这两个数的立方和(差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(和与差)。

6、两根式：

==十字相乘法==

对于。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法

具体方法：十字左边相乘等于二次项[[系数]]，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)

特点：

(1)二次项系数是1；

(2)常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

基本步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;

(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;

(4)检验。

例1：把6x²+13x + 6[[分解因式]]

解：

∴原式=(2x+3)(3x+2)

例2：把3m³-3m²-60m分解因式

解：

∴原式=3m(m²-m-20)

=3m(m-5)(m+4)

==双十字相乘法==

对于某些二元二次六项式

(x、y为未知数，其余都是[[常数]])，用两次十字相乘法分解因式，这种分解因式的方法叫做双十字相乘法。

步骤：

(1)用十字相乘法分解二次项(

)，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和[[等于]]原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

(3)先以一个字母的一次系数分数常数项；

(4)再按另一个字母的一次系数进行检验；

(5)横向相加，纵向相乘。

例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12．

解析：这是一个[[二次六项式]]，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解:

x2y2

x3y6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)

== 参考来源 ==
<center>
{{#iDisplay:c0716y2jydj|480|270|qq}}
<center>5分钟的因式分解方法教学</center>
</center>
== 参考资料 ==

[[Category: 310 數學總論]]