檢視外微分的原始碼

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| style="background: #66CCFF" align= center|  '''<big>外微分</big> '''

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|[[File:外微分.jpg|缩略图|居中| [https://www.51wendang.com/doc/7d46aa4c2bd85b98a1862906/10 原图链接]]] 

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中文名: 外微分

外文名: exterior differentiation

别 名: 微分形式

性 质: 反对称协变张量场

应用学科: 微分几何

|}
数学上，微分拓扑的'''[[外微分]]'''算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。<ref>[https://www.51wendang.com/doc/7d46aa4c2bd85b98a1862906/10 ],无忧文档 , </ref>
==定义==
一个k阶微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。对于一个k-形式ω =fIdxI在R上，其定义如下：
 。
==性质==
外微分满足三个重要性质：
（1）线性
（2）楔积法则
（3）d2=0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有
可以证明外微分由这些性质和其与0形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。d的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成 。
==坐标不变公式==
给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V0,V1, …, Vk我们有
特别的有，对于1-形式，我们有：
 更一般的，李导数由李括号定义：
 而一般微分形式的[[李导数]]和外微分密切相关。区别主要是记号上的。
==微积分中==
下面的对应关系揭示了[[向量微积分]]的诸多公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。
==梯度==
对于一个0-形式，也就是一个光滑函数f:R→R，我们有
 所以，对于向量场V
 其中grad f代表f的梯度而<·, ·>是标量积。
==旋度==
对于一个1-形式
 在R上，
 就是
因此，对于向量场U, V=[u,v,w]和W我们有
 其中curl V代表V的旋度×是向量积，而<·, ·>是标量积。
==散度==
对于一个2-形式
 我们得到
其中V是一个向量场定义为V=[p,q,r].
==范例==
对于1-形式
 onR我们有
 这刚好就是在格林定理中被积分的2-形式。
向量微积分的恒等式：
与
皆是外微分第三性质——
 的特例。
 
==参看==
外共变导数
格林定理
斯托克斯定理

== 参考来源 ==
{{reflist}}

[[Category:310 數學總論 ]]