檢視正弦函数的原始碼

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中文名；正弦三角函数

外文名；trigonometric function

值域；[-1，1]

分类；三角函数的一种

奇偶性；奇函数

对称性；轴对称图形、中心对称图形

定义域；实数集R

应用学科；数学、物理、天文、地理等
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正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的[[正弦]]，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

古代说法，正弦是股与弦的[[比例]]。<ref>[https://wenku.so.com/d/3d4f940b34ca4580aec6f4d7a319ccb3 正弦函数],360文库 , 2018年5月16日</ref>

==研究历史==

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角[[三角形]]的两条直角边。

正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的[[比例]]。

正弦=股长/弦长

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式是

sin = 直角三角形的对边比斜边.

如图1，斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r

无论a，y，r为何值，正弦值恒大于等于0小于等于1，即0≤sin≤1.

==三角函数==

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类[[函数]]。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代[[数学]]把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A 的正切，记作tanA

即tanA=角A 的对边/角A的邻边

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA

即sinA=角A的对边/角A的[[斜边]]

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的余弦，记作cosA

即cosA=角A的邻边/角A的斜边

=='''正弦函数'''==

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的[[正弦函数]]，记作v=sinα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角[[函数]]y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

相关公式

==平方和关系==

（sinα）^2 +（cosα）^2=1

==积的关系==

sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ）

cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）

tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)

==倒数关系==

tanα × cotα = 1

sinα × cscα = 1

cosα × secα = 1

==商的关系==

sinα / cosα = tanα = secα / cscα

==和角公式==

sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ

sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ

cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα

tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )

==倍角半角公式==

sin ( 2α ) = 2sinα · cosα

sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )

sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2)

由泰勒级数得出

sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )

级数展开

sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )

导数

（ sinx ） ' = cosx

（ cosx ) ' = ﹣ sinx

==正弦定理==

特定正弦函数与椭圆的关系

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的[[夹角]]为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到

f(c)=r tanα sin(c/r)

r:圆柱半径

α:椭圆所在面与水平面的角度

c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的[[周长]]。

==正弦定理==

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密(C．Ptolemy)所知．中世纪[[阿拉伯]]著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj，973一1048)也知道该定理。但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲，犹太数学家热尔松在其《[[正弦、弦与弧]]》中陈述了该定理：“在一切三角形中，一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”，但他没有给出清晰的证明。15世纪，德国数学家雷格蒙塔努斯在《[[论各种三角形]]》中给出了正弦定理，但简化了纳绥尔丁的证明。1571年，法国数学家韦达(F．Viete，1540一1603)在其《[[数学法则]]》中用新的方法证明了正弦定理，之后，德国数学家毕蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《[[三角学]]》中沿用韦达的方法来证明正弦定理。

==单位圆==

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有[[长度]] 1，所以有了 sin θ = y/1 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 2π 或小于 −2π 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的[[周期函数]]:

对于任何角度 θ 和任何整数 k。

==级数==

正弦函数（绿色）被对中心为原点的全圆的它的 11 次泰勒级数（红色）紧密逼近。

==微分方程==

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分[[方程]]

这就是正弦的微分方程定义。

用其他三角函数的[[表示]]

两角和的正弦

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

和差化积公式

万能公式

==数学术语==

正弦函数﹑余弦函数﹑正切函数﹑余切函数﹑正割函数与余割函数合称为[[三角函数]]。

==拉普拉斯变换==

[[正弦函数]]的拉普拉斯变换为：。

== 参考来源 ==
<center>
{{#iDisplay:s30015vbxwm|480|270|qq}}
<center>双曲正弦函数到底是什么呢？</center>
</center>
== 参考资料 ==

[[Category:970 技藝總論 ]]