檢視馬可夫過程的原始碼

{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center>'''馬可夫過程'''<br><img src="https://wiki.mbalib.com/w/images/b/bc/%E4%B8%80%E6%AD%A5%E8%BD%AC%E7%A7%BB%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9F%A9%E9%98%B5.jpg" width="250"></center><small>[https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E8%BF%87%E7%A8%8B 圖片來自MBA智庫百科]</small> 
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在[[概率論]]及[[統計學]]中，'''馬可夫過程'''（Markov process）是一個具備了[[馬可夫性質]]的[[隨機過程]]，因為俄國數學家[[安德雷•馬可夫]]得名。馬可夫過程是不具備記憶特質的（memorylessness）。換言之，馬可夫過程的[[条件概率]]<ref>[https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87 条件概率]，MBA智庫百科</ref> 僅僅與系统的當前狀態相關，而與它的過去歷史或未來狀態，都是[[統計獨立性|獨立]]、不相關的<。

具備離散[[狀態空間 (計算機科學)|狀態]]的馬可夫過程，通常被稱為[[馬可夫鏈]]。馬可夫鏈通常使用離散的時間集合定義，又稱離散時間馬可夫鏈<。有些學者雖然採用這個術語，但允許時間可以取連續的值。

==數學模型==
对于某些类型的[[随机过程]]，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用[[马尔可夫性质]]中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个[[随机过程]]他的状态''X''可取到一个离散集合中的值，该值随时间''t''变化，可将该值表示为''X''(''t'')。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>1</sub>), 任何“当前时间”''s'', 以及任何“未来时间” ''t'', 同时所有这些时间全都在''X''的取值范围之内，若有
:cdots < p_2 < p_1 < s <t.
则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式
:Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s), X(p_1)=x(p_1), X(p_2)=x(p_2), \dots \big]
::Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s) \big] 
对于所有的取值( ... ,''x''(''p''<sub>2</sub>), ''x''(''p''<sub>1</sub>), ''x''(''s''), ''x''(''t'') ), 以及所有的时间集合成立。 则可用[[条件概率]]计算得出
:Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s), X(p_1)=x(p_1), X(p_2)=x(p_2), \dots \big]
与任何过去的取值( ... ,''x''(''p''<sub>2</sub>), ''x''(''p''<sub>1</sub>) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。

===二阶马尔可夫过程===
在某些情况下，如果将“现在”和“未来”的概念扩展，某些明显的非马尔可夫过程仍然可能具有某些马尔可夫过程的性质。举例来说，令''X''是一个非马尔可夫过程，现在构造一个过程''Y''，使其每个状态对应于''X''的一个时段的状态。从而有如下形式：
:Y(t) = \big\{ X(s): s \in [a(t), b(t)] \, \big\}
如果''Y''具有马尔可夫性质，则称''X''为二阶马尔可夫过程，据此也可定义更高阶马尔可夫过程。一个高阶马尔可夫过程的例子是[[移动平均]]的[[时间序列]]

==马尔可夫性质==
'''-{A|zh-hans:马尔可夫;zh-hant:馬可夫}-性质'''是[[概率论]]中的一个概念。当一个[[随机过程]]在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件[[概率分布]]仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是[[条件独立]]的，那么此[[随机过程]]即具有'''马尔可夫性质'''。具有马尔可夫性质的过程通常称之为'''[[马尔可夫过程]]'''。

数学上，如果X(t), t>0为一个随机过程，则'''马尔可夫性质'''就是指
:mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(s) = x(s), s \leq t\big] = \mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(t) = x(t)\big], \quad \forall h > 0

马尔可夫过程通常称其为'''（时间）齐次'''，如果满足
:mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(t) = x(t)\big] = \mathrm{Pr}\big[X(h) = y \,|\, X(0) = x(0)\big], \quad \forall t, h > 0
除此之外则被称为是'''（时间）非齐次'''的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。

某些情况下，明显的[[非马尔可夫过程]]也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设X为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程Y，使得每一个Y的状态表示X的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，
:Y(t) = \big\{ X(s) : s \in [a(t), b(t)] \, \big\
如果Y具有马尔可夫性质，则它就是X的一个马尔可夫表示。
在这个情况下，X也可以被称为是'''二阶马尔可夫过程'''。'''更高阶马尔可夫过程'''也可类似地来定义。

具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有[[移动平均]][[时间序列]]。

最有名的马尔可夫过程为[[马尔可夫链]]，但不少其他的过程，包括[[布朗运动]]也是马尔可夫过程。
== 參考文獻 == 
{{reflist}}
[[Category:330 物理學總論]]