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| 對角線 |
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對角線 幾何學名詞，定義為連接多邊形兩個不相鄰 頂點的線段，或者連接多面體任意兩個不在同一面上的頂點的線段。另外在代數學中，n階行列式，從左上至右下的數歸為主對角線，從左下至右上的數歸為副對角線。
基本信息
中文名 對角線[1]
外文名 diagonal [2]
幾何圖形
幾何連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段，或者連接多面體任意兩個不在同一面上的頂點的線段.
從n 邊形的一個頂點出發，可以引n -3條對角線
n邊形共有n×（n-3）÷2個對角線
◎關於矩形對角線的知識：
長×長+寬×寬=對角線×對角線（其實就是勾股定理）即兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。
狹義的對角線，是在多邊形中任意兩個非鄰接的頂點的連線（線段）.
廣義的對角線，是在多維度體中任意兩個非鄰接的頂點的連線（線段）.[1]
代數
行列式
在n階行列式中，從左上至右下的數歸為主對角線，從左下至右上的數歸為副對角線。
克萊姆(Cramer）法則：主對角線的數分別相乘，所得值相加；副對角線的數分別相乘，所得值的相反數相加。兩者總和為行列式的值。此法僅適用於小於4階的行列式。（如右圖）
矩陣
一個m×n階矩陣的對角線為所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3… min{m,n}。
集合
設X，Y是任意兩個集合，按定義一切序對（x,y）所構成的集合：
X×Y := {(x,y)|(x∈X）∧（y∈Y)}
叫做集合X,Y（按順序）的直積或笛卡爾積，X×X叫做X^2。
集合中的對角線：
△ = {(a,b）∈X^2| a = b }
是X^2的一個子集，它給出集X中元素的相等關係，事實上，a△b表示（a,b）∈△。即a=b。
四邊形對角線
由三角形的三個頂點就能確定這個三角形的位置、形狀和大小；當沒有給出頂點時，由三角形的一些元素（共六個元素，分別為三角形的三條邊和三個內角）也能確定三角形的形狀和大小。確定了三角形，就能研究這個三角形的中線、高、角平分錢、中位線這幾個重要的線段。在四邊形中，是通過對角線把它分割成三角形來研究的，這樣四邊形中的對角線就顯得更加重要。本文就如何巧用四邊形的對角線來判定特殊的四邊形舉例加以分析，供同學們學習時參考。
一. 利用對角線判定特殊的四邊形
在課堂上我們已探索過以下幾個重要的結論：
⑴對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
⑵對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；
⑶對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形；
⑷對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形；
⑸對角線相等的梯形是等腰梯形。
其實以上這些結論是有聯繫的。如圖1，四邊形ABCD中，兩條對角線相交於點O。
⑴當OA=OC，OB=OD時，四邊形ABCD是平行四邊形。
⑵在OA=OC，OB=OD的基礎上增加AC=BD條件時，四邊形 ABCD在平行四邊形的基礎上變成矩形。
⑶在OA=OC，OB=OD的基礎上增加AC BD條件時，四邊形ABCD在平行四邊形的基礎上變成菱形。
⑷在OA=OC，OB=OD的基礎上增加AC=BD， 條件時，四邊形ABCD在平行四邊形的基礎上變成正方形。
⑸當AB//CD， 且 ，OA=OB時，此時的四邊形ABCD為對角線相等的梯形，即等腰梯形。
由此可知，把一個一般的四邊形變為特殊的四邊形，可以通過改變兩條對角線的大小關係和位置關係來完成。這也是特殊四邊形之間重要的聯繫紐帶之一。
二. 利用對角線判定動態四邊形的形狀
如圖2， 中，點O是邊AC上的一個動點，P是BC延長線上一點。過點O作直線MN//BC，設MN交∠BCA的平分線於點E，交∠PCA的平分線於點F，連結AE、AF。
⑴圖中有等腰三角形嗎？
⑵當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？簡要說明理由。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形嗎？此時 應滿足什麼條件？
分析：⑴圖2中有等腰三角形。
理由：
是等腰三角形。
⑵當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形。理由如下：
由⑴得。
由O是AC的中點，得。
所以 :
所以四邊形AECF的兩條對角線AC、EF互相平分且相等。故四邊形AECF為矩形。
所以，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形。
理由：因為MN//BC，當∠ACB=90°時，∠AOE=∠ACB=90°，即對角線AC、EF互相垂直。
所以這時四邊形AECF是正方形。
即在這當中，當∠ACB=90°時，在⑵中的矩形AECF是正方形。