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| 數理邏輯 | |
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數理邏輯，形式邏輯形式上符號化、數學化的邏輯，本質上仍屬於知性邏輯的範疇。
數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯。它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。是用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科。其研究對象是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以後的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分。雖然名稱中有邏輯兩字，但並不屬於單純邏輯學範疇。[1]
產生
邏輯是探索、闡述和確立有效推理原則的學科，最早由古希臘學者亞里士多德創建的。用數學的方法研究關於推理、證明等問題的學科就叫做數理邏輯。也叫做符號邏輯。 利用計算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀就有人提出過。萊布尼茨就曾經設想過能不能創造一種「通用的科學語言」，可以把推理過程象數學一樣利用公式來進行計算，從而得出正確的結論。由於當時的社會條件，他的想法並沒有實現。但是它的思想卻是現代數理邏輯部分內容的萌芽，從這個意義上講，萊布尼茨的思想可以說是數理邏輯的先驅。 1847年，英國數學家布爾發表了《邏輯的數學分析》，建立了「布爾代數」，並創造一套符號系統，利用符號來表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運算法則，利用代數的方法研究邏輯問題，初步奠定了數理邏輯的基礎。
十九世紀末二十世紀初，數理邏輯有了比較大的發展，1884年，德國數學家弗雷格出版了<數論的基礎>一書，在書中引入量詞的符號，使得數理邏輯的符號系統更加完備。對建立這門學科做出貢獻的，還有美國人皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號。從而使現代數理邏輯最基本的理論基礎逐步形成，成為一門獨立的學科。
內容
數理邏輯包括內容，這裡先介紹它的兩個最基本的也是最重要的組成部分，就是「命題演算」和「謂詞演算」。
命題演算是研究關於命題如何通過一些邏輯連接詞構成更複雜的命題以及邏輯推理的方法。命題是指具有具體意義的又能判斷它是真還是假的句子。
如果人們把命題看作運算的對象，如同代數中的數字、字母或代數式，而把邏輯連接詞看作運算符號，就象代數中的「加、減、乘、除」那樣，那麼由簡單命題組成復和命題的過程，就可以當作邏輯運算的過程，也就是命題的演算。[2]
這樣的邏輯運算也同代數運算一樣具有一定的性質，滿足一定的運算規律。例如滿足交換律、結合律、分配律，同時也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等等。利用這些定律，人們可以進行邏輯推理，可以簡化復和命題，可以推證兩個複合命題是不是等價，也就是它們的真值表是不是完全相同等等。
命題演算的一個具體模型就是邏輯代數。邏輯代數也叫做開關代數，它的基本運算是邏輯加、邏輯乘和邏輯費，也就是命題演算中的「或」、「與」、「非」，運算對象只有兩個數 0和 1，相當於命題演算中的「真」和「假」。邏輯代數的運算特點如同電路分析中的開和關、高電位和低電位、導電和截至等現象完全一樣，都只有兩種不同的狀態，因此，它在電路分析中得到廣泛的應用。
利用電子元件可以組成相當於邏輯加、邏輯成和邏輯非的門電路，就是邏輯元件。還能把簡單的邏輯元件組成各種邏輯網絡，這樣任何複雜的邏輯關係都可以有邏輯元件經過適當的組合來實現，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，在自動控制方面有重要的應用。謂詞演算也叫做命題涵項演算。在謂詞演算里，把命題的內部結構分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項、邏輯連接詞和量詞構成命題，然後研究這樣的命題之間的邏輯推理關係。
命題涵項就是指除了含有常項以外還含有變項的邏輯公式。常項是指一些確定的對象或者確定的屬性和關係；變項是指一定範圍內的任何一個，這個範圍叫做變項的變域。命題涵項和命題演算不同，它無所謂真和假。
如果以一定的對象概念代替變項，那麼命題涵項就成為真的或假的命題了。命題涵項加上全程量詞或者存在量詞，那麼它就成為全稱命題或者特稱命題了。
發展
數理邏輯這門學科建立以後，發展比較迅速，促進它發展的因素也是多方面的。比如，非歐幾何的建立，促進人們去研究非歐幾何和歐氏幾何的無矛盾性，就促進了數理邏輯的發展。
集合論的產生是近代數學發展的重大事件，但是在集合論的研究過程中，出現了一次稱作數學史上的第三次大危機。這次危機是由於發現了集合論的悖論引起。什麼是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證很嚴格的一個分支，被公認為是數學的基礎。
1903年，英國唯心主義哲學家、邏輯學家、數學家羅素卻對集合論提出了以他名字命名的「羅素悖論」，這個悖論的提出幾乎動搖了整個數學基礎。
羅素悖論中有許多例子，其中一個很通俗也很有名的例子就是「理髮師悖論」：某鄉村有一位理髮師，有一天他宣布：只給不自己刮鬍子的人刮鬍子。那麼就產生了一個問題：理髮師究竟給不給自己刮鬍子？如果他給自己刮鬍子，他就是自己刮鬍子的人，按照他的原則，他又不該給自己刮鬍子；如果他不給自己刮鬍子，那麼他就是不自己刮鬍子的人，按照他的原則，他又應該給自己刮鬍子。這就產生了矛盾。悖論的提出，促使許多數學家去研究集合論的無矛盾性問題，從而產生了數理邏輯的一個重要分支—公理集合論。非歐幾何的產生和集合論的悖論的發現，說明數學本身還存在許多問題，為了研究數學系統的無矛盾性問題，需要以數學理論體系的概念、命題、證明等作為研究對象，研究數學系統的邏輯結構和證明的規律，這樣又產生了數理邏輯的另一個分支—證明論。
數理邏輯新近還發展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。第歸論主要研究可計算?。模型論主要是研究形式系統和數學模型之間的關係。數理邏輯近年來發展特別迅速，主要原因是這門學科對於數學其它分支如集合論、數論、代數、拓撲學等的發展有重大的影響，特別是對新近形成的計算機科學的發展起了推動作用。反過來，其他學科的發展也推動了數理邏輯的發展。正因為它是以門新近興起而又發展很快的學科，所以它本身也存在許多問題有待於深入研究。現在許多數學家正針對數理邏輯本身的問題，進行研究解決。總之，這門學科的重要性已經十分明顯，他已經引起了更多人的關心和重視。
體系
數理邏輯的主要分支包括：模型論、證明論、遞歸論和公理化集合論。數理邏輯和計算機科學有許多重合之處，這是因為許多計算機科學的先驅者既是數學家、又是邏輯學家，如阿蘭·圖靈、邱奇等。 程序語言學、語義學的研究從模型論衍生而來，而程序驗證則從模型論的模型檢測衍生而來。 柯里——霍華德同構給出了「證明」和「程序」的等價性，這一結果與證明論有關，直覺邏輯和線性邏輯在此起了很大作用。λ演算和組合子邏輯這樣的演算現在屬於理想程序語言。
計算機科學在自動驗證和自動尋找證明等技巧方面的成果對邏輯研究做出了貢獻，比如說自動定理證明和邏輯編程。
當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時（如0、1、2或更多狀態時），其通用模型的基本邏輯有2個。一個是從一種狀態變為另一種狀態的邏輯，是一個一元邏輯；另外一種是兩種狀態中按照某種規則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯，這是一個二元邏輯。依據這兩種邏輯，可以表達任意多狀態的任意邏輯關係，即最小表達式。即任意多狀態的邏輯是完備的。當邏輯狀態數擴展有理數量級甚至更多。任意數學運算都可以用兩個運算關係來聯合表達：加減法和比較大小。
基本結果
一階公式的普遍有效性的推定證明可用算法來檢查有效性。用技術語言來說，證明集合是原始遞歸的。實質上，這就是哥德爾完備性定理，雖然那個定理的通常陳述使它與算法之間的關係不明顯。 有效的一階公式的集合是不可計算的，也就是說，不存在檢測普遍有效性的算法。儘管以下算法存在：對此算法輸入一個一階公式，如果這個一階公式是普遍有效的，那麼算法將在某一時刻停機，如果不是普遍有效的，那麼算法將會永遠不停地計算下去。然而，即使算法已經運行了億萬年，公式是否有效仍是未知數。換句話說，這一集合是「遞歸枚舉的」，用更通俗的話來講，是「半可判定的」。
普遍有效的二階公式的集合甚至不是遞歸可枚舉的。這是哥德爾不完備定理的一個結果。
勒文海姆——斯科倫定理。
相繼式演算中的切消定理。
保羅·科恩（Paul Cohen）在1963年證明的連續統假設的獨立性。
分支學科
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學。