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閉區域

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中文名；閉區域 外文名；Closed Region 所屬學科；數學（幾何學） 相關概念；區域、連通、開集、開區域等

閉區域(closed region)是指簡單閉曲線及它的內部，構成「平面閉區域」。類似地，可定義空間閉區域。也稱區域與它的邊界的並集稱為閉區域。區域(region)是幾何學的基本概念之一，如果一個平面圖形(封閉圖形，不包含其內部)能將平面上不屬於圖形上的點分為若干個部分，使得同一部分任意兩點可以用一條與圖形無公共點的折線連結，不同部分的任意兩點不能用與圖形無公共點的折線連結，那麼這個平面的每個部分都稱為一個區域，該圖形稱為區域的邊界。如果某一個區域的任意兩點可以用與該圖形無公共點的線段連結，那麼這個區域稱為凸區域。例如，一直線分平面為兩個凸區域，兩相交直線分平面為四個凸區域，三角形分平面為兩個區域，其中只有一個凸區域(三角形的內部)。一個區域連同它的邊界稱為閉區域。

連通的開集稱為開區域，簡稱區域。開區域連同其邊界所構成的集合稱為閉區域。

定義2

區域是有界的；否則稱為無界的。

有限個點或無限個點的集合稱為點集，複平面上的點集可視為複數的集合。

鄰域

複平面上以)的集合，即滿足不等式

或

的鄰域。

開集

若平面點集稱為開集。

連通

若平面點集是連通的。

區域的定義

若平面點集

滿足如下兩條件：

1.是開集；

2.是連通的。

那麼，稱

為區域。

簡單曲線與閉曲線

簡單曲線

設連續曲線，那麼稱此曲線C是簡單曲線。

閉曲線

設連續曲線，那麼稱曲線C是閉曲線。

閉曲線的內部與外部

簡單閉曲線將複平面分為兩個區域：

1. 被閉曲線C包圍的有界域稱C的內部；

2. 不被閉曲線C包圍的無界域稱C的外部。

單連域與多連域

單連域

如果在區域D內任作的簡單閉曲線的內部全都包含在D內，那麼稱D為單連域。

多連域

不是單連域的區域稱為多連域。

與閉區間上一元連續函數的性質相似，在有界閉區域上多元連續函數有如下重要性質。

有界性定理

有界閉區域D上的多元連續函數必定在D上有界。

最大值和最小值定理

有界閉區域D上的多元連續函數在D上一定存在最大值和最小值。

介值定理

有界閉區域D上的多元連續函數必定能在D上取得介於它的最大值與最小值之間的任何值。