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十字相乘法

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十字相乘法是因式分解中十四種方法之一，另外十三種分別都是：1.提公因式法 2.公式法 3.雙十字相乘法 4.輪換對稱法 5.拆添項法 6.配方法7.因式定理法 8.換元法 9.綜合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定係數法 13.二次多項式。

十字相乘法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解。

十字相乘法能用於二次三項式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整數範圍內）。對於像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)這樣的整式來說，這個方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積，把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積，並使a1c2+a2c1正好等於一次項的係數b。那麼可以直接寫成結果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，並體會，它的實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項係數的符號。基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

原理

一個集合中的個體，只有2個不同的取值，部分個體取值為A，剩餘部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個體與取值為B的個體的比例。假設總量為S， A所占的數量為M，B為S-M。

則：[A*M+B*(S－M)]/S=C

M/S=(C-B)/(A-B)

1-M/S=(A-C)/(A-B)

因此：M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)

上面的計算過程可以抽象為：

A C-B

C

B A-C

總均值放中央，對角線上的大數減小數，結果放在對角線上

這就是所謂的十字分解法。X增加，平均數C向A偏，A-C（每個A給B的值）變小，C-B(每個B獲得的值）變大，兩者如上相除=每個B得到幾個A給的值。

判定

對於形如ax²+bx+c的多項式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式時，可以使用Δ=b²-4ac進行判定。當Δ為完全平方數時，可以在整數範圍對該多項式進行十字相乘。

運算舉例

例1：a²+a-42

首先，我們看看第一個數，是a²，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(a+?)×(a-?)，

然後我們再看第二項，+a 這種式子是經過合併同類項以後得到的結果，所以推斷出是兩項式×兩項式。

再看最後一項是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。

首先，21和2無論正負，通過任意加減後都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。

然後，再確定是-7×6還是7×（-6）。

﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因為一次項係數為1，所以確定是7×﹣6。

所以a²+a-42就被分解成為（a+7）×(a-6），這就是通俗的十字分解法分解因式。

具體應用

雙十字相乘法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解，常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題，若採用「雙十字分解法」（主元法），就能很容易將此類型的多項式分解因式。

例2：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)

因為3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，

而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1

要訣：把缺少的一項當作係數為0，0乘任何數得0，

例3：ab+b²+a-b-2

=0×1×a²+ab+b²+a-b-2

=(0×a+b+1)(a+b-2)

=(b+1)(a+b-2）

提示：設x²=y，用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。

例4：2x^4+13x^3+20x²+11x+2

=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2

=(2y+3x+1)(y+5x+2)

=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)

=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為

2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，

可以看作是關於x的二次三項式．

對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字分解法，分解為

即

-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字分解法對關於x的二次三項式分解

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；

(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3．

這就是所謂的雙十字分解法．也是俗稱的「主元法」

用雙十字相乘法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：

⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一個十字相乘圖(有兩列）；

⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．

我們把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n為非負整數）的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x)，g(x)，…等記號表示，如

f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，

當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．

定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)至少有一個因式x-a．

根據因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對於任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的係數都是整數時，即整係數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根。

分解因式

例1、因式分解。

x²-x-56

分析：因為7x + (-8x) =-x

解：原式=(x+7)(x-8)

例2、因式分解。

x²-10x+16

分析：因為-2x+(-8x)=-10x

解：原式=(x-2)(x-8)

例3、因式分解。

6y²+19y+15

分析：該題雖然二次項係數不為1，但也可以用十字相乘法進行因式分解。

因為

9y + 10y=19y

解：原式=(2y+3)(3y+5)

例4、 因式分解。

14x²+3x-27

分析：因為

21x+(-18x)=3x

解：原式=(2x+3)(7x-9)

例5、 因式分解。

10(x+2)²-29(x+2)+10

分析：該題可以將（x+2）看作一個整體來進行因式分解。

因為

-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)

解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]

=(2x-1)(5x+8)

把2x²-7x+3分解因式.

分析：先分解二次項係數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分

別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然後交叉相乘，求代數和，使其等於一次項係數.

分解二次項係數（只取正因數 因為取負因數的結果與正因數結果相同！）：

2=1×2=2×1；

分解常數項：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7 ≠-7

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5 ≠-7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)=-7

經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘後，兩項代數和恰等於一次項係數-7。

例2

解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)

通常地，對於二次三項式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2 + a2c1

按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等於二次三項式ax²+bx+c的一次項係數b，即a1c2+a2c1=b，那麼二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

像這種藉助畫十字交叉線分解係數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.

例3

把5x²+6xy-8y²分解因式.

分析：這個多項式可以看作是關於x的二次三項式，把-8y²看作常數項，在分解二次項及常數項係數時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解後，經過觀察，選取合適的一組，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解為兩個關於x，y的一次式。

例4

把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式，只有先進行多項式的乘法運算，把變形後的多項式再因式分解。

問：以上乘積的因式是什麼特點，用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?

答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2(x-y)，它是第一個因式的二倍，然後把(x-y）看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關於(x-y）的二次三項式，就可以用十字分解法分解因式了。

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y)²-3(x-y)-2

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=-3

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

指出：將元x、y換成(x+y)，以(x+y)為元，這就是「換元法」。

重難點

難點：靈活運用十字分解法分解因式。因為並不是所有二次多項式都可以用十字相乘法分解因式。

重點：正確地運用十字分解法把某些二次項係數不是1的二次三項式分解因式。

注意事項

第一點：用來解決兩者之間的比例問題。

第二點：得出的比例關係是基數的比例關係。

第三點：總均值放中央，對角線上，大數減小數，結果放在對角線上。

參考來源

因式分解之十字相乘法