对角线查看源代码讨论查看历史
| 对角线 |
 |
对角线 几何学名词，定义为连接多边形两个不相邻 顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。另外在代数学中，n阶行列式，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。
基本信息
中文名 对角线[1]
外文名 diagonal [2]
几何图形
几何连接多边形任意两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段.
从n 边形的一个顶点出发，可以引n -3条对角线
n边形共有n×（n-3）÷2个对角线
◎关于矩形对角线的知识：
长×长+宽×宽=对角线×对角线（其实就是勾股定理）即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
狭义的对角线，是在多边形中任意两个非邻接的顶点的连线（线段）.
广义的对角线，是在多维度体中任意两个非邻接的顶点的连线（线段）.[1]
代数
行列式
在n阶行列式中，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。
克莱姆(Cramer）法则：主对角线的数分别相乘，所得值相加；副对角线的数分别相乘，所得值的相反数相加。两者总和为行列式的值。此法仅适用于小于4阶的行列式。（如右图）
矩阵
一个m×n阶矩阵的对角线为所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3… min{m,n}。
集合
设X，Y是任意两个集合，按定义一切序对（x,y）所构成的集合：
X×Y := {(x,y)|(x∈X）∧（y∈Y)}
叫做集合X,Y（按顺序）的直积或笛卡尔积，X×X叫做X^2。
集合中的对角线：
△ = {(a,b）∈X^2| a = b }
是X^2的一个子集，它给出集X中元素的相等关系，事实上，a△b表示（a,b）∈△。即a=b。
四边形对角线
由三角形的三个顶点就能确定这个三角形的位置、形状和大小；当没有给出顶点时，由三角形的一些元素（共六个元素，分别为三角形的三条边和三个内角）也能确定三角形的形状和大小。确定了三角形，就能研究这个三角形的中线、高、角平分钱、中位线这几个重要的线段。在四边形中，是通过对角线把它分割成三角形来研究的，这样四边形中的对角线就显得更加重要。本文就如何巧用四边形的对角线来判定特殊的四边形举例加以分析，供同学们学习时参考。
一. 利用对角线判定特殊的四边形
在课堂上我们已探索过以下几个重要的结论：
⑴对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
⑶对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
⑷对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；
⑸对角线相等的梯形是等腰梯形。
其实以上这些结论是有联系的。如图1，四边形ABCD中，两条对角线相交于点O。
⑴当OA=OC，OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形。
⑵在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC=BD条件时，四边形 ABCD在平行四边形的基础上变成矩形。
⑶在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC BD条件时，四边形ABCD在平行四边形的基础上变成菱形。
⑷在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC=BD， 条件时，四边形ABCD在平行四边形的基础上变成正方形。
⑸当AB//CD， 且 ，OA=OB时，此时的四边形ABCD为对角线相等的梯形，即等腰梯形。
由此可知，把一个一般的四边形变为特殊的四边形，可以通过改变两条对角线的大小关系和位置关系来完成。这也是特殊四边形之间重要的联系纽带之一。
二. 利用对角线判定动态四边形的形状
如图2， 中，点O是边AC上的一个动点，P是BC延长线上一点。过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠PCA的平分线于点F，连结AE、AF。
⑴图中有等腰三角形吗？
⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形吗？此时 应满足什么条件？
分析：⑴图2中有等腰三角形。
理由：
是等腰三角形。
⑵当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
由⑴得。
由O是AC的中点，得。
所以 :
所以四边形AECF的两条对角线AC、EF互相平分且相等。故四边形AECF为矩形。
所以，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形。
理由：因为MN//BC，当∠ACB=90°时，∠AOE=∠ACB=90°，即对角线AC、EF互相垂直。
所以这时四边形AECF是正方形。
即在这当中，当∠ACB=90°时，在⑵中的矩形AECF是正方形。