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| 正交 |
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中文名；正交 外文名；Orthogonality 应用学科；数学 适用领域范围；数学 |
正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。[1]
正交的含义
对于一般的希尔伯特空间， 也有内积的概念， 所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。 特别的， 我们有n维欧氏空间中的正交概念， 这是最直接的推广。
和正交有关的数学概念非常多， 比如正交矩阵、正交补空间、施密特正交化法、最小二乘法等等。
另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。
若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。
正交变换
正交变换
是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：
这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。
欧几里得空间的例子
在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。
正交函数集
对于两个函数f和g，可以定义如下的内积：
这里引进一个非负的权函数。这个内积叫做带权{\displaystyle w(x)}的内积。
两个函数带权{\displaystyle w(x)}正交，是指它们带权
的内积为零。
由此可以类似定义带权{\displaystyle w(x)}的模。
一个函数列{fi:i= 1, 2, 3, ... }如果满足：
其中
为克罗内克函数， 那么{fi}就称为带权{\displaystyle w(x)}的正交函数族。
进一步地，如果{fi}满足：
的标准正交函数族。
参见正交多项式。
参看
正交化
Gram-Schmidt正交化
正交分解
正交矩阵
正交基
垂直
参考来源