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光滑函数

中文名:光滑函数 外文名:smooth function 类 别:函数 学 科:数学

光滑函数(smooth function)是指在其定义域内无穷阶数连续可导的函数。

定义

光滑函数(smooth function)在数学中特指无穷阶可导的函数。若一函数是连续的，则称其为 函数；若函数1阶可导，且其1阶导函数连续，则被称为 函数；若n阶可导，且其n阶导函数连续，则为 函数。而光滑函数是对所有n都属于 的函数，特称其为光滑函数。

分类

1.分段光滑函数
若一元函数在闭区间上分段连续，至多除有限个点之外可微且导数连续，在这有限个点存在有限的广义单侧连续导数，则一元函数称为闭区间上的分段光滑函数。若f定义在无界区间上，而在此区间的任何闭子区间上分段光滑，则此一元函数称为在该无界区间上分段光滑。 分段光滑函数是分段可微的。

2.部分光滑函数
通俗的讲，部分光滑函数是一个全局非光滑的函数(globally non-smooth)，然而沿着某一方向函数是光滑的，甚至2阶可导，然后“垂直”(transversal)于该方向，函数依旧非光滑。

实现

例如，以自然对数为底的指数函数，即y=e^x显然是光滑的，因为它的导数就是其本身。
构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的；另一方面来讲，一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟；所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。
流形的光滑映射
光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数，定义在切向量上；它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。
在需要讨论所有无穷可微函数的集合时，以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时，人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择，因为它在这些操作下不是完备和闭合的。对于这个情况的一个正确处理，我们可以采用索伯列夫空间（Sobolev space ）的概念。