双有理映射查看源代码讨论查看历史
有理映射是代数簇上的有理函数概念的推广。但是，它并不是集合意义下的映射。代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。有理函数是指由有理式表示的函数，即两个多项式函数的商(分母不是零多项式)。 双有理映射(birational mapping)一种特殊的有理映射。它诱导了两个代数簇的有理函数域间的同构。 [1]
中文名:双有理映射
外文名:birationalmapping
领 域:数学
性 质:特殊的有理映射
意 义:诱导了两个有理函数间的同构
相关词:双有理同构
概念
双有理映射(birational mapping)是一种特殊的有理映射。它诱导了两个代数簇的有理函数域间的同构。双有理映射φ：X→Y诱导了X和Y的两个稠密开子簇间的同构，而且反之亦正确。这样的两个代数簇被称为是双有理等价的或双有理同构的。利用双有理等价关系对代数簇进行分类是代数几何的根本问题之一。双有理映射的最简单的例子是具有非异中心的爆发(或称独异变换)。对于维数≤2的光滑完备簇，双有理映射一定可分解为上述的爆发或其逆映射的复合映射。 [2]
有理映射
有理映射是代数簇上的有理函数概念的推广。但是，它并不是集合意义下的映射。设X和Y都是代数簇，下述二元组(U，φU)的等价类称为一个有理映射φ：X→Y，这里的U是X的非空开子集，φU：U→Y是一个态射，(U，φU)与(V，φV)等价，当且仅当φU和φV在U∩V上相重合。当Y是仿射直线时，从X到Y的有理映射就是代数簇X上的有理函数。上述开子集U的并集U~称为有理映射φ的定义域。U~在φ下的像称为有理映射φ的像，并被记为φ(X).当φ(X)在Y内稠密时，φ可以定义有理函数域间的嵌入φ：k(Y)→k(X);反之，有理函数域的嵌入又可确定从X到Y内的一个有理映射。当φ是k(Y)到k(X)上的同构映射时，φ被称为双有理映射。
有理函数
有理函数是指由有理式表示的函数，即两个多项式函数的商(分母不是零多项式)。一元有理函数是由R(x)=P(x)/Q(x)表示的实函数或复函数，这里的P，Q是多项式，Q(x)0.当Q的次数n≠0时，称为有理分式;n=0时，即为多项式。有理函数的导数仍是有理函数；它的原函数可以用有理函数、对数函数与反正切函数的有限组合表示。如果P，Q的次数分别为m，n，有的文献把数偶(m，n)或数max{m，n}称为R(x)的次数。
代数簇
代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。 设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=SpecR[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇，则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。 [3]
同构
两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。
建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。
同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。 ；[4]
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