平面直角坐標系檢視原始碼討論檢視歷史

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中文名；平面直角坐標系 外文名；Plane rectangular coordinate system 簡稱；直角坐標系 創立者；勒內·笛卡爾 應用學科；數學 應用領域；函數

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱直角坐標系（Rectangular Coordinates）。通常，兩條數軸分別置於水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做x軸（x-axis）或橫軸，垂直的數軸叫做y軸（y-axis）或縱軸，x軸y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點（origin），以點O為原點的平面直角坐標系記作平面直角坐標系xOy。

發展歷程

坐標的思想是法國數學家、哲學家笛卡爾所創立的。

傳說：

有一天，笛卡爾（Descartes 1596—1650，法國哲學家、數學家、物理學家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這裡，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組「數」掛上鈎。他就拚命琢磨。通過什麼樣的辦法、才能把「點」和「數」聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順着絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的「表演」，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條直線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3、2、1，也可以用空間中的一個點 P來表示它們。同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示。於是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系。

坐標系

在平面「二維」內畫兩條互相垂直，並且有公共原點的數軸，簡稱直角坐標系。平面直角坐標系有兩個坐標軸，其中橫軸為x軸(x-axis)，取向右方向為正方向；縱軸為y軸（y-axis)，取向上為正方向。坐標系所在平面叫做坐標平面，兩坐標軸的公共原點叫做平面直角坐標系的原點。x軸y軸將坐標平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不在任何一個象限內。一般情況下，x軸y軸取相同的單位長度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長度。

點的坐標

在直角坐標系中，對於平面上的任意一點，都有唯一的一個有序數對（即點的坐標(coordinates)）與它對應；反過來，對於任意一個有序數對，都有平面上唯一的一點與它對應。

對於平面內任意一點C，過點C分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應點a,b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序數對(ordered pair)（a,b）叫做點C的坐標。一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

特殊位置的點的坐標的特點：

1.x軸上的點的縱坐標為零；y軸上的點的橫坐標為零。

2.在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行於縱軸（兩點的橫坐標不為零）；如果兩點的縱坐標相同，則兩點的連線平行於橫軸（兩點的縱坐標不為零）。

3.點到軸及原點的距離：

點到x軸的距離為|y|； 點到y軸的距離為|x|；點到原點的距離為x的平方加y的平方的算術平方根。

象限

第一象限還可以寫成Ⅰ，第二象限還可以寫成Ⅱ，第三象限還可以寫成Ⅲ，第四象限也可以寫成Ⅳ。

.第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。

對稱點

1.關於x軸成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數。（橫同縱反）

2.關於y軸成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數。（橫反縱同）

3.關於原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數，縱坐標與縱坐標互為相反數。（橫縱皆反）

點的符號

橫坐標 縱坐標

第一象限：（+，+）正正

第二象限：（-，+）負正

第三象限：（-，-）負負

第四象限：（+, -）正負

x軸正半軸：（+，0）

x軸負半軸：（-，0）

y軸正半軸：（0，+)

y軸負半軸： (0，-）

x軸上的點的縱坐標為0，y軸上的點的橫坐標為0。

原點：（0，0）

註：以數對形式（x，y）表示的坐標系中的點。如（2，-4），「2」是x軸坐標，「-4」是y軸坐標。

1.第一象限中的點的橫坐標(x)大於0，縱坐標(y)大於0。

2.第二象限中的點的橫坐標(x)小於0，縱坐標(y)大於0。

3.第三象限中的點的橫坐標(x)小於0，縱坐標(y)小於0。

4.第四象限中的點的橫坐標(x)大於0，縱坐標(y)小於0。

各象限角平分線的點的特徵：

一、三象限角平分線上的點p (a,b）橫縱坐標相等，即a=b；

二、四象限角平分線上的點p (a,b)橫縱坐標相反，即a+b=0或a=-b。

性質

1.坐標平面內的點與有序實數對一一對應。

2. 一三象限角平分線上的點橫縱坐標相等。

3.二四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數。

4.一點上下平移，橫坐標不變，即平行於y軸的直線上的點橫坐標相同。

5.y軸上的點，橫坐標都為0。

6.x軸上的點，縱坐標都為0。

7.坐標軸上的點不屬於任何象限。

8.一個關於x軸對稱的點橫坐標不變，縱坐標變為原坐標的相反數。反之同樣成立。

9.一個關於原點對稱的點橫縱坐標均為原坐標相反數。

10.與x軸做軸對稱變換時，x不變，y變為相反數。

11.與y軸做軸對稱變換時，y不變，x變為相反數。

12.與原點做軸對稱變換時，y與x都變為相反數。

高斯平面直角坐標系

為了方便工程的規劃、設計與施工，我們需要把測區投影到平面上來，使測量計算和繪圖更加方便。而地理坐標是球面坐標，當測區範圍較大時，要建平面坐標系就不能忽略地球曲率的影響。把地球上的點位化算到平面上，稱為地圖投影。地圖投影的方法有很多，我國採用的是高斯——克呂格投影（又稱高斯正形投影），簡稱高斯投影。它是由德國數學家高斯提出的，由克呂格改進的一種分帶投影方法。它成功解決了將橢球面轉換為平面的問題。

投影方法

高斯投影的方法是將地球按經線劃分為帶，稱為投影帶。投影是從首子午線開始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領土位於東經72°∽136°之間，共包括了11個6°帶，即13∽23帶；22個3°投影帶即24∽45帶。

設想一個平面捲成橫圓柱套在地球外，如圖1-5中（a）所示 。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為

縱坐標軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標軸，用y表示，兩軸的交點作為坐標原點，由此構成的平面直角坐標系稱為高斯平面直角坐標系，如圖1-5中（b）所示。每一個投影帶都有一個獨立的高斯平面直角坐標系，區分各帶坐標系則利用相應投影帶的帶號。在每一個投影帶內，y坐標值都有正有負，這對於計算和使用都不方便，為了使y坐標都為正值，故將縱坐標軸向西平移500㎞，並在y坐標前加上投影帶的帶號。 6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔經差6°分為一帶，將地球分為60個帶，其編號分別為1，2，3，…60。任意帶的中央子午線經度為Lo，它與投影帶號N的關係如下所示：

Lo=(6N-3°)

式中：N———6°帶的帶號

離中央子午線越遠，長度變形越大，在要求較小的投影變形時，可採用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎上劃分的，如圖2所示。每3°為一帶，從東經1°30′開始，共120帶，其中央子午線在奇數帶時與6°帶的中央子午線重合，每帶的中央子午線可用下面的工式計算：

Lo=3N′

式中：N′——3°帶的帶號。

為了避免y坐標出現負值，3°帶的坐標原點同6°帶一樣，向西移動500㎞，並在y坐標前加3°帶的帶號。

特點

應當注意的是，高斯投影沒有角度變形，但有長度變形和面積變形，離中央子午線越遠，變形就越大。其主要特點有以下三點：

（1）投影后中央子午線為直線，長度不變形，其餘經線投影對稱並且凹向於中央子午線，離中央子午線越遠，變形越大。

（2）赤道的投影也為一直線，並與中央子午線正交，其餘的經緯投影為凸向赤道的對稱曲線。

（3）經緯投影后仍然保持相互垂直的關係，投影后有角度無變形。

應用

用直角坐標原理在投影面上確定地面點平面位置的坐標系：

與數學上的直角坐標系不同的是，它的橫軸為Y軸，縱軸為X軸。在投影面上，由投影帶中央經線的投影為調軸、赤道投影為橫軸（Y軸）以及它們的交點為原點的直角坐標系稱為國家坐標系，國家坐標系（national coordinate system）是各國為進行測繪和處理其成果，規定在全國範圍內使用統一坐標框架的坐標系統,又稱國家大地坐標系。國家大地坐標系是測制國家基本比例尺地圖的基礎。否則稱為獨立坐標系。

坐標方法的簡單應用：

1.用坐標表示地理位置。

2.用坐標表示平移。

在測量學中使用的平面直角坐標系統（rectangular plane coordinate system）包括高斯平面直角坐標系和獨立平面直角坐標系。

通常選擇：高斯投影平面(在高斯投影時)或測區內平均水準面的切平面(在獨立地區測量時)作為坐標平面；縱坐標軸為x軸，向上(向北)為正；橫坐標軸為y軸，向右(向東)為正；角度(方位角)從x軸正向開始按順時針方向量取，象限也按順時針方向編號。

參考來源

平面直角坐標系（13）