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| 旋度 |
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旋度是向量分析中的一個向量算子，可以表示三維向量場對某一點附近的微元造成的旋轉程度。 這個向量提供了向量場在這一點的旋轉性質。旋度向量的方向表示向量場在這一點附近旋轉度最大的環量的旋轉軸，它和向量旋轉的方向滿足右手定則。旋度向量的大小則是繞着這個旋轉軸旋轉的環量與旋轉路徑圍成的面元的面積之比。舉例來說，假設一台滾筒洗衣機運行的時候，從前方看來，內部的水流是逆時針旋轉，那麼中心水流速度向量場的旋度就是朝前方向外的向量。[1]
定義
定義向量場的旋度，首先要引入環量（或稱為旋渦量）的概念。給定一個三維空間中的向量場 沿着曲線的環量就是速度沿着路徑的閉合曲線積分： 其中曲線上的線元
，方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线所包围的面积在它的左侧。举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说环量大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。
環量和通量一樣，是描述向量場的重要參數。某個區域中的環量不等於零，說明這個區域中的向量場表現出環繞某一點或某一區域旋轉的特性。旋度則是局部地描述這一特性的方法。為了描述一個向量場在一點附近的環量，將閉合曲線收小，使它包圍的面元 的環量和面元的比值在趨於零時候的極限值： 就是環量的面密度（或稱為環量強度）。顯然，隨着面積取的方向不同，得到的環量面密度也有大有小。如果要表現一點附近向量場的旋轉程度，則應該表現出其最大可能值以及其所在面積的方向。而向量場的旋度是一個向量。它在一個方向上的投影的大小表示了在這個方向上的環量面密度的大小。也就是說，在一點的旋度記為 ，滿足： ( 所在平面的法向量。) 如果用Nabla算子表示的話，向量場的旋度記作：
。
從定義中可以看出，旋度是向量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質是向量場沿一個閉合曲線的環量。如果一個向量場中處處的旋度都是零，則稱這個場為無旋場。
坐標系中表示
在不同的坐標系下，向量場的旋度有不同的表達方式。
直角坐標系
中，设向量场为：
其中的 具有一階連續偏導數， 那麼在各個坐標上的投影分別為： 的向量叫做向量場
的旋度，也就是：
旋度的表達式可以用也行列式記號形式表示： 需要注意的是這裡的行列式記號只有形式上的意義，因為真正的行列式中的係數應該是數而不是這樣的向量。這種表示方法只是便於記憶旋度在直角坐標系中的表達式。但是如果套用了這個行列數算出來的就是一個向量了。就是說這在數學中是不規範的寫法，但拓展開來用在物理上就套公式就可以了。
圓柱坐標系
圓柱坐標系中，假設物體位置的矢徑為 ，那麼向量場可以表示成： 向量場
的旋度就是：
旋度的表達式可以用也行列式記號形式表示（即向量積的行列式形式）：
球坐標系
球坐標系中，假設物體的位置用球坐標表示為 可以表示成： 向量場
的旋度就是：
旋度的表達式可以用也行列式記號形式表示（即向量積的行列式形式）：
例子
下面是兩個簡單的例子，用以說明旋度的直觀意義。第一個例子是向量場
(如图1）：
直觀上，可以看出向量場是表示一個向順時針方向旋轉的趨勢。 假如在圖中放一個點，它會被向量場「推動」，沿順時針方向繞圈運動。根據右手定則，旋度的方向應該是朝向頁面內。按照右手系坐標的方向，旋度的方向是
轴的负方向。
經過計算可以得出，向量場的旋度為 和直觀的推斷相符合。 以上的計算表明，對於該矢量場，旋度是一個恆定的量，也就是說，每一點上旋轉的程度都是一樣的。 旋度圖象為圖2：
(如右图3）：
向量場的作用是向下，越是靠近兩側，向下的趨勢越顯著。假想這個向量場是一個力場，一塊薄板水平放在圖的右邊，那麼由於更靠右的地方受到向下的力更大，薄板會順時針轉動。類似地，如果將薄板水平放在圖的左邊，則會逆時針轉動。所以的旋轉作用是右側順時針、左側逆時針，而且越偏離中心，作用越大。按照右手定則，旋度應該是右側朝 軸正方向（指向頁面外）。實際的計算可以得到： 所以 軸正方向，和直觀推斷相符合。 以下的性質 都可以從常見的求導法則推出。最重要的是，旋度是一個線性算子，也就是說： 其中 是實數。 設 是向量場，則它們的乘積的旋度為： 設有兩個向量場 ，則它們的向量積的旋度為： 一個標量場
的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
一個向量場
的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零： 的旋度场的旋度场则是：
斯托克斯公式
三維空間 ）上具有一階連續偏導數，則有 用旋度表示，就是： 這個公式是一般的斯托克斯公式（在n=2時）的特例，在歐氏3維空間上的向量場的旋度的曲面積分和向量場在曲面邊界上的線積分之間建立了聯繫。具體就是，向量場 的旋度場在這個曲面上的積分。
歷史
作為向量分析的基礎概念，旋度同樣源自對四元數上的微積分研究。哈密爾頓在介紹四元數的運算時，將一個四元數 中的 稱為「向量部分」。他引入了四元數的偏微分算子 （即 的效果： 麥克斯韋在1873年的論文中將其中的「標量部分」： 稱為「聚集度」（Convergence），而將「向量部分」： 稱為「旋度」（Curl）或「變度」（Version）。他在寫給泰特的信中解釋了他起名「旋度」前的想法。他最初想將這一部分稱為「扭曲度」（Twist），但可能會被理解為「旋扭」（screw）或「螺旋」（helix）；而他想表達的概念是類似「轉」（turn）或「變動」（version）。他曾想用「擰動」（Twirl）一詞，但又認為它太過「活潑」（racy），對於數學家來說動感過於強烈，所以最後使用了「旋度」。海維賽德在1883年發表的論文：《電學與磁學中的若干關係》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中討論了 。
旋度的物理意義
設想將閉合曲線縮小到其內某一點附近，那麼以閉合曲線L為界的面積也將逐漸減小.一般說來，這兩者的比值有一極限值，即記作單位面積平均環流的極限。它與閉合曲線的形狀無關，但顯然依賴於以閉合曲線為界的面積法線方向且通常L的正方向與規定要構成右手螺旋法則。旋度的重要性在於，可用通過研究表徵矢量在某點附近各方向上環流強弱的程度,進而得到其單位面積平均環流的極限的大小程度。磁場是有旋場，靜電場是無旋場。