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| 最小公倍数 | |
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最小公倍数，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。[1] 与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为(a，b)。
关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理:
(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数) [2]
基本简介
最小公倍数（Least Common Multiple，缩写L.C.M.），如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数，对于两个自然数来说，指该两数共有倍数中最小的一个。计算最小公倍数时，通常会借助最大公约数来辅助计算。
如果一个数既是a又是b的倍数，那么我们就把这个数叫着a和b的公倍数，如果这个数在a b的所有公倍数里为最小，那这个数就是最小公倍数。
概念定义
几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时,[a、b]= a×b。
如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。
最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。
最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解，有唯一的解)．
因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的N次方，是只能被X的N-1以下次方，1和自身数整除．
所以，在求A，B，C，D，E，…，Z的最小公倍数时，只需要把这些数分解为素数的N次方之间的乘积后，取各素因子的最高次方的乘积，就是这些数的最小公倍数．
举例说明
例如，2，4分别是2的1次方和2次方，最高次方为2的2次方，所以2和4的最小公倍数是4。3，5的最小公倍数是15，同样5和6这两个数最小公倍数就是他们的乘积30。
求756，4400，19845，9000的最小公倍数？
因756=2×2×3×3×3×7，4400=2×2×2×2×5×5×11，19845=3×3×3×3×5×7×7，9000=2×2×2×3×3×5×5×5，这里有素数2，3，5，7，11．2最高为4次方16，3最高为4次方81，5最高为3次方125，7最高为2次方49，还有素数11．所以得最小公倍数为16*81*125*49*11=87318000．
示例例题
两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？
15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。
练习一
1,两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？
答：9×1=9,9×10=90；当数a1和b1分别是2和5时,a、b分别为9×2=18,9×5=45。所以，这两个数是9和90或者18和45。
2,两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少？
答：12×1=12,12×10=120；当数a1和b1分别是1和5时,a、b分别为12×1=12,12×5=60。所以，这两个数是12和60，为此两数的和就为：72。
3,两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少？
答：180÷60=3 ，720÷60=12，12÷3=4，4×60=240；因此另一个数是240.
例题2
两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？
分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数，所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。
练习二
1,求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。
2,已知两个数的积是3072,最大公因数是16,求这两个数。
3,已知两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
例题3
甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练习三
1,1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？
2,甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？
3,五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？
例题4
一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
分析把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练习四
1,用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？
2,有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
3,一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？
例题5
甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600,所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
练习五
1,有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行,1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。
2,一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？
3,甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出[1]发？
应用实例：
分元宝
亡故的先父留下遗嘱，
共有遗产17个元宝，
老大得元宝的二分之一、 17/2=8.5
老二得元宝的三分之一、 17/3=5.66666
老三得元宝的九分之一、 17/9=1.8
问他们每一个人分别应该分几个元宝？
在《一代大商孟洛川》中是这样做的
孟洛川拿来一个元宝加上去
好了，现在分元宝
答案是：老大9个元宝、老二6个元宝、老三2个元宝。
还剩下一个元宝，是我们孟洛川的，拿回来
很不可思议吧
很简单的初中数学题老大分1/2,老二分1/3,老三分1/9
这三个数的最小公倍数就是18,即9/18+6/18+2/18=17/18,就是说他们老爷子给的这个比例和根本就没到1,。即1-17/18=1/18,也就是说，直接分，那是分不完17元宝的。这样这要用18这个最小公倍数就能分开，最后还剩一个
程序实现
PASCAL语言实现：
1、var a,b,ans:integer;
function gcd(a,b:integer):longint;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd(b,a mod b ) ;
end;
2、var a,b,ans:integer;
function gcd(a,b:integer):longint;
begin
readln(a,b );
ans:=(a*b) div gcd(a,b);
write(ans);
end.
C语言实现：
- include <stdio.h>
- pragma warning(disable:4996)
int GCD(int a, int b);
int LCM(int a, int b);
int main(){int num1, num2, gcd, lcm;
printf("求两个数的最大公约数及最小公倍数 \n\n请输入你想计算的两个数：\n");
scanf("%d%d",&num1,&num2);
gcd=GCD(num1,num2);
lcm=LCM(num1,num2);
printf("最大公约数为：%d \n最小公倍数为：%d\n",gcd,lcm);
return 0;}int GCD(int num1, int num2)
{if ( num1 % num2 == 0)
{return num2；}else
{returnGCD( num2,num1 % num2) ;}
}int LCM(int a,int b){int temp_lcm;temp_lcm = a * b / GCD(a,b); //最小公倍数等于两数之积除以最大公约数
return temp_lcm;}C++程序实现
- include <iostream>
using namespace std;
int GCD(int num1, int num2);
int LCM(int a, int b);
int main(){int num1, num2, gcd, lcm;
cout<<"求两个数的最大公约数及最小公倍数"<<endl<<endl;
cout<<"请输入两个数：";
cin>>num1>>num2;
gcd = GCD(num1, num2);
lcm = LCM(num1, num2);
//输出最大公约数和最小公倍数
cout<<"最大公约数为："<<gcd<<endl;
cout<<"最小公倍数为："<<lcm<<endl;
system("pause");
return 0;
}int GCD(int num1, int num2){if ( num1 % num2 == 0)
{return num2；}else{return GCD ( num1, num1 % num2) ;}}int LCM(int a, int b)
{int temp_lcm;temp_lcm = a * b / GCD(a,b); //最小公倍数等于两数之积除以最大公约数
return temp_lcm;