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| 算术函数 |
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中文名: 数论函数 外文名: number-theoretic function 别 名: 算术函数 对 象: 正整数集 |
在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。 最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。[1]
简介
数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数 ，例如 以正整数为定义域的函数ƒ(n)，例如数列{αn}、阶乘n!、幂nλ等都是数论函数。
内容
设n的标准分解式为
。
①麦比乌斯函数 易知 式中和号表示d过n的所有因数。 ② 欧拉函数φ(n) 表示与 n互素且不超过n的正整数的个数，易证 这里(m,n)=d。1801年，C.F.高斯证明了。关于欧拉函数，有一个迄今尚未解决的猜想：不存在 复合数n使得φ(n)|n-1 。这个猜想是1932年由D.H.莱默尔提出来的。1962年，柯召和孙琦证明了这样的复合数存在，n至少是12 个不同的奇素数的乘积；1980年，G.L.科恩和P.哈吉斯用计算机改进到 n至少是 14 个不同的奇素数的积。 ③除数函数 当u≠0时，则有 当u=0时， σ1(n)=σ(n)，正整数n满足σ(n)=2n时，n就叫做完全数。
狄利克雷卷积
设ƒ1(n) 和ƒ2(n) 是两个数论函数，则叫做ƒ1(n) 和ƒ2(n) 的狄利克雷卷积，记为ƒ1(n)*ƒ2(n)=ƒ(n) 。显然，ƒ(n)也是一个数论函数，且有 这里ƒ3(n) 也是一个数论函数。狄利克雷卷积是研究数论函数的重要概念。可以证明：全体ƒ(1)≠0 的数论函数ƒ(n) ，对于狄利克雷乘积 * 组成一个阿贝尔群。
积性函数
若gcd (m,n)=1 ，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，称数论函数ƒ(n) 为积性函数。 若对任意正整数 m、n，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，则称数论函数 ƒ(n) 为完全积性函数，例如μ(n)、φ(n)、σu(n)是积性函数，但不是完全积性函数。曼格尔德特函数 Λ(n) 是非积性函数。 积性函数有下列性质： ①若 ƒ(n) 是一个非恒等于 0 的积性函数，则有 ƒ(1)=1 ； ②若 ƒ1(n) 和 ƒ2(n) 都是积性函数，则 ƒ1(n)*ƒ2(n) 也是积性函数； ③若 ƒ1(n)*ƒ2(n) 和 ƒ2(n) 是积性函数，则 ƒ1(n) 也是积性函数。