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綜合除法

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中文名；綜合除法 外文名；synthetic division 適用領域範圍；數學

綜合除法(synthetic division)是一種簡便的除法，只通過乘、加兩種運算便可計算到一元多項式除以(x - a)的商式與餘式。

符號

Q 商式

R 餘式

例題

( 2x^3 - 6x² + 11x - 6) ÷(x - 1)

解：Image:MathEquation.GIF

被除數：被除數的未知數應是降冪排列，抽取係數用以計算，但若題目的被除數出現降冪次數中沒有3，則在演算的過程中在該係數的位置上補上0，然後如常計算。 　除數：除數中的未知數前的係數有時並不一定會是1，當出現別的係數時，如：3x – 2中的3，我們會把它變做3 (x - 2/3) ，同樣以1來計算，但當得出結果的時候除餘式外全部除以該係數。

∴答：商式Q = 2x² - 4x + 7

餘式R = 1

注意：驗算時，須謹記末項是餘式之係數，即原被除式末項文字之係數。商式之首項文字必較原被除式之首項文字次數少1，余依齊次式類推。

因式分解

綜合除法的依據是因式定理即若(x-a)能整除某一多項式，則(x-a)是這一多項式的一個因式。

用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x²+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的餘數為f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(餘數定理)，若f(b)=0時，f(x)有x－b的因式．用綜合除法找出多項式的因式，從而分解因式的方法．

例分解因式3x^3-4x^2-13x-6

∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).

說明：(1)用綜合除法試商時，要由常數項和最高次項係數來決定．常數項的因數除以最高次項係數的因數的正負值都可能是除的整除商．上例中常數項是6，最高次項係數是3它們的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．試除時先從簡單的入手．

(2)因式可能重複．

方法介紹

另外告訴你一下有關綜合除法的計算對這個很有幫助

比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）

將x-1的常數項-1做除數

將被除式的每一項的係數列下來 由高冪到低冪排列 缺項的係數用零代替，

將最高項的係數落下來，用除數-1乘以落下的3，得-3，寫在第二項-6下，

用-6減-3寫在橫線下（ 補：若是用x-1=0的解 即取x=1作為除數 則是用加），再用-1乘以-3的3寫在第三項4下，用4減3得1寫在橫線下一直除...直到最後一項得0

所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1……0

橫線下的就是商式的每一項係數，而最後的一個就是餘式

這裡商式是3x^2-3x+1，餘式是0

-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1

（-） ┃ -3 3 -1 做除數（+ ) ┃ 3 -3 1

┗━━━━━ ┗━━━━━

3 -3 1 |0 -3 1 |0

又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷(x+1)

-1┃ 4 -3 -4 -1

┃ -4 7 -3

┃ 4 -7 3┃-4

┗━━━━━━

4 -7 3|-4

所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4

商式是4x^2-7x+3，餘式是-4

注意！！這個方法僅用於除式為x-a的形式的多項式除法。

(但如果是ax+b的形式可表示為a（x+b/a）再相除）

綜合除法在數學運算中的應用主要類型

多項式除以多項式；

應用於部分分式；

應用於求函數值；

應用於因式分解；

應用於高次方程；

應用於多項式變形；

應用於有理函數的積分。

總之,綜合除法作為一種工具,在解決數學運算問題時使用方便,尤其是可以利用綜合除法來解決多項式除以多項式、部分分式、求函數值、因式分解、高次方程、多項式變形、有理函數的積分等,具有化繁為簡、應用方便、易於掌握的優點,是其它運算方法難以取代的,在數學運算有着廣泛的應用空間,數學問題的研究中發揮極為重要的作用。

參考來源

基礎數學 綜合除法