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二次函数

LBT0930讨论 | 贡献2021年9月4日 (六) 16:22的版本 (创建页面,内容为“{{Infobox person | 名称 = '''二次函数''' | 图像 = File:二次函数.jpg|缩略图||center|[http://www.pptbz.com/d/file/p/202002/smallaeb7a87fc…”)
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二次函数,在数学中,二次函数最高次必须为二次, 二次函数(quadratic function)表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)的多项式函数。二次函数的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。

二次函数

二次函数表达式y=ax²+bx+c的定义是一个二次多项式,因为x的最高次数是2。[1] 如果令二次函数的值等于零,则可得一个二次方程。该方程的解称为方程函数零点

目录

基本简介

一般地,我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

主要特点

“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。[2]

二次函数图像与X轴交点的情况

当△=b²-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。

当△=b²-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。

当△=b²-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。

二次函数图像

在平面直角坐标系(Plane rectangular coordinates)中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

注意:草图要有 :

1. 本身图像,旁边注明函数。  2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a)  3. 与X轴交点坐标 (x₁,y₁);(x₂, y₂),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a, (4ac-b²)/4a).

轴对称

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

a,b同号,对称轴在y轴左侧.

a,b异号,对称轴在y轴右侧.

顶点

二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).

当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k。

h=-b/2a, k=(4ac-b²)/4a。

开口方向和大小

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号

当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。

事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定与y轴交点的因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于(0,C)

注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

与x轴交点个数

a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。

a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。

当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k

当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k

当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数

二次函数的性质

定义域(domain):R

值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b²)/4a,正无穷);②[t,正无穷)

奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。

周期性:无

解析式:

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;

⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b²)/4a);

⑷Δ=b²-4ac,

Δ>0,图象与x轴交于两点:

([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);

Δ=0,图象与x轴交于一点:

(-b/2a,0);

Δ<0,图象与x轴无交点;

特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。

②y=a(x-h)²+k[顶点式]

此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b²)/4a

③y=a(x-x₁)(x-x₂)[交点式(双根式)](a≠0)

对称轴X=(X₁+X₂)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤(X₁+X₂)/2时Y随X

的增大而减小

此时,x₁、x₂即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X₁)(X-X₂) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X₁ X₂值。

增减性

当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反,同增同减。

当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反,大小小大。

最值

当a>0时,函数有最小值(4ac-b²)/4a。

当a<0时,函数有最大值(4ac-b²)/4a。

相关分类

一般式

y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b²)/4a]

把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

顶点式

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。

解:设y=a(x-1)²+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)²+2。

交点式

y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b²-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x₁,0)和 B(x₂,0),我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤:

∵X+x=-b/a x1·x=c/a

∴y=ax²+bx+c

=a(x²+b/ax+c/a)

重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

其他知识介绍:牛顿插值公式

由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

其他资料

两个关联函数图像

对称关系

对于一般式:

①y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c两图像关于y轴对称

②y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c两图像关于x轴对称

③y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx+c-2b²*|a|/4a²关于顶点对称

④y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx-c关于原点对称。

对于顶点式:

①y=a(x-h)²+k与y=a(x+h)²+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于X轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。

④y=a(x-h)²+k与y=-a(x+h)²-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。

与一元二次方程的关系

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

即ax²+bx+c=0

此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式 顶点坐标 对 称 轴

y=ax² (0,0) x=0

y=ax²+K (0,K) x=0

y=a(x-h)² (h,0) x=h

y=a(x-h)²+k (h,k) x=h

y=ax²+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k(h>0,k>0)的图象

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)²+k(h>0,k<0)的图象

当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x-h)²+k(h<0,k>0)的图象

当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)²+k(h<0,k<0)的图象

在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣(a绝对值分之根号下△)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0)。

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

如何学习二次函数

1.二次函数对比一次函数学习。

2.掌握重点。

3.多做题.熟练度高一些自然简单了。

4.要举一反三.延伸更多做题技巧。

知识要点

1.要理解函数的意义。

2.要记住函数的几个表达形式,注意区分。

3.一般式,顶点式,交点式,等,区分对称轴,顶点,图像,y随着x的增大而减小(增大)等的差异性。

4.联系实际对函数图像的理解。

5.计算时,看图像时切记取值范围。

6.随图像理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题

二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现,而且综合性很强,一般会综合四边形.三角形.一次函数出现。

误区提醒

(1)对二次函数概念理解有误,漏掉二次项系数不为0这一限制条件;

(2)对二次函数图象和性质存在思维误区;

(3)忽略二次函数自变量取值范围;

(4)平移抛物线时,弄反方向。

(5)二次函数既不是正比例函数也不是反比例函数

参考来源