有限集
有限集合是由有限个元素组成的集合,也称有穷集合。例如,由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合,由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。[1]
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只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合,叫做单元素集合,至少含有一个元素的集合叫做非空集合,不含任何元素的集合叫做空集,空集只有一个,一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如,如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素,而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格,那么这个集合就是一个空集Φ。在集合论中,约定空集Φ为有限集合, 空集是一切集合的子集。 有限集合还有两种定义方式。 一个是说与自然数串的一个线段对等的集合,以及空集合,都叫做有限集合;不是有限集合的集合叫做无限集合。 另一个定义是:不可与其自身的真子集对等的非空集合,以及空集, 都叫做有限集合,不是有限集合的集合叫做无限集合。
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相关性质定理
定理1 (有限集合的基本定理)有限集合不能与它的任何真子集合或真母集合对等。 证明: (文中所有定理的详细证明请参考文后书籍)定理中两个论断(与子集合和母集合的不对等)的每一个论断,都可以容易地从另一个论断推出,因为,如果A~B而且,那么从A和B两集合之一的有限性,像上面已经指出的那样,即可推出另一集合也是有限的.因此,例如.让我们来证明:有限集合小能与它的真子集合对等,对于空集A=0,定理是成立的,因为空集合绝不会有真子集合,设A≠0,于是,按照有限集合的定义,集合A便对等于自然数串的一个(至少对等于一个)线段,让我们对于数n用归纳法证明:A不可能一一映象在它自己的真子集合B上,对于n=1,这是显然的,因为而且只包含一个元素,B=0是它唯一的一个真子集合,所以A不对等于B。 假设定理对于自然数n已被证明了,我们要证明定理对于n+1也是正确的,因此,设,而且f是A 在B上的一个一一映象,用与A的元素对应的那些自然数给A的元素编号,我们将得到
对于B=0,论断是正确的,如果B≠0.那么,无损于普遍性。可设,因为如若不然,我们取b∈B,并在B中用代换b而造成新集合B1;再构成新映象,使它和映象,除了具有性质的元素a之外,对于A的其他所有元素完全相同,并且假定对于元素a有于是就是A在其含有的真子集合B1上的一个一一映象。其次,无损于普遍性,可以认为因为如若不然。设,于是,再构成新映象,使它和映象,除了和这两个元素外,对于A的其他所有元素完全相同;并且假定因此,总起来,我们设并更设,因为B是A的真子集合,所以有元素a'∈A\B.因为,所以,因而,这就是说,B'是A'的一个真子集合。因为所以映照便建立起了集合A'与B'的对等性,但是所以我们便得到了与归纳法假定相矛盾的结果,而我们定理的沦断正就是那个假定,因此,这就是说,全部定理已被证明。 从定理1容易推出定理2。 定理2 每一个非空有限集合与自然数串的一个线段而且仅只一个线段对等。 定义4 对于非空有限集合A,由所唯一确定的自然数n叫做集合A的元素数,数0叫做空集合的元素数。 从对等的性质就推出:两个有限集合在而且仅只在它们具有相同的元素数时,才是对等的,所以,可以把元素数看成是有限集合的势的定义。 定理3 有限集合的任一子集合是有限集合,无限集合的任一母集合是无限集合。 定理4 有限集合A的元素数永远大于它的真子集合B的元素数。 定理5 全部自然数组成的集合N,以及含有与N对等的子集合的集合,全是无限集合。 证明: 集合N是无限的,因为对于任一自然数n的映象,把集合一一地映象在它的真子集合上,这就是说,任一与N对等的集合N‘’是无限的,而按照定理3,于是,包含与N对等的集合N'作为其子集合的任一集合,也是无限的。 例 实数集合或复数集合包含自然数集合N,因此,它们都是无限集合,线段[0,1]也是无限集合,因为它含有与N对等的形如那样的数组成的集合N。 定义5 对等于自然数集合的集合,叫做可排集合。 换句话说,可排集合就是这样的集合:可以利用自然数把它的元素如此地“编号”,使得全部自然数全被用到而且不同的元素水远有不同的号码,因此,可排集合A永远可被写成这样的形状:
偶数集合或奇数集合,以及有理数集合,全都是可排集合。 定义5 不是有限的或是可排的集合,叫做不可排集合。 定理6 每一个无限集合必含有一个可排集合。 定理7 每一个无限集合M必与其某一个真子集合对等。