三胞胎素數

在數論中，三胞胎素數（也稱為三生素數）是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數，它的名字也正是由此而來。

定義

正如孿生素數是指差等於2的兩個素數，三胞胎素數是指三個連續素數，使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上，除了最小的兩組三胞胎素數：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外，三胞胎素數分為兩類： A類，中間一個素數與前面一個素數相差2，與後面一個素數相差4，即素數p，p+2，p+6，例如，11,13,17；B類，中間一個素數與前面一個素數相差4，與後面一個素數相差2，即素數p，p+4，p+6，例如13，17,19.

公式

A類三胞胎素數

為了具體地求一定範圍內的A類三胞胎素數，可以利用一下的定理：「若自然數A-2, A, A+4都不能被不大於（A+4）½的任何素數整除，則A-2, A與A+4都是素數」。這個定理的證明用到一個簡單的事實：如果一個自然數A不能被不大於（A）½的任何素數整除，則A是素數。

考慮按照從小到大的順序：2，3，5，……排列的前k 個素數p₁,p₂,...,p_k。解方程：

A=p₁m₁+g₁=p₂m₂+g₂=...=p_km_k+g_k(1)

其中<math>g_i≠0，g_i ≠2，g_i≠ p_i-4（保證A-2, A, A+4都不能被任一個素數整除），1<g_i< p_i- 1。

如果解出A<p²_k+1-4，則A-2,A與A+4是一組三胞胎素數。

我們可以把（1）式內容等價轉換成為同餘方程組表示：

A ≡ g₁ (modp₁), A ≡g₂modp₂), ...,\A ≡ g_kmodp_k(2)

由於（2）式的模p₁、p₂、……、p_k 是素數，兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的g₁, g₂, ..., g_k，（2）式在p₁ p₂...p_k範圍內有唯一解。

A類三胞胎素數的例子

例如k=2時，A=2m₁+1=3m₂+1，解得A=7, 13, 19。這三個素數都滿足A<p²_k+1-4的條件：7, 13, 19<5^{2-4，因此，這三個素數所對應的素數組：}

7-2，7與7+4；

13-2，13與13+4；

19-2，19與19+4

都是三胞胎素數組。這樣，就求得了區間(5, 5²）中的全部A類三胞胎素數。

又如當k=3時，設有方程組A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+3，解得A=13 與A=43。其中出現一個新的素數43，而43<7²-4。因此，43-2，43與43+4也是一組三胞胎素數。

又比如求解方程組A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+4，解得A=19，也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、2或對應的素數減去4，可能的餘數組合只有以上的兩種，所以上面的計算已經求得了區間(7,7²)的全部A類三胞胎素數。

k=4時	7m₄+1	7m₄+4	7m₄+5	7m₄+6
A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+3	43	193	103	13
A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+4	169	109	19	139

已經得到區間(11,11²)的全部A類三胞胎素數

B類三胞胎素數

對於B類的三胞胎素數，也可以用類似的結論：「若自然數B-4, B, B+2都不能被不大於{B+2}½任何素數整除，則B-4, B與B+2都是素數」。這個結論的證明與上面的相同。

於是同樣地，考慮按照從小到大的順序：2，3，5，……排列的前k 個素數p₁,p₂,...,p_k。解方程：

B=p₁m₁+j₁=p₂m₂+j₂=...=p_km_k+j_k(3)

其中j_i≠0 、j_i≠4、j_i≠p_i- 2 。

而如果B<p²_k+1-2，則B-4, B與B+2是一組三胞胎素數。

我們可以把（3）式內容等價轉換成為同餘方程組表示：

B ≡j₁（modp₁）, B ≡j_2（modp₂）, ..., B ≡j_k（modp_k）(4)

同樣地，由於（4）式中的模p₁、p₂、……、p_k是素數，兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的j₁, j₂, ..., j_k，（4）式在p₁p₂...p_k範圍內有唯一解。

B類三胞胎素數的例子

例如k=2時，B=2m₁+1=3m₂+2，解得B=11，17。這兩個素數都滿足B<p²_k+1-2的條件：11, 17<5²-2，因此我們得到兩組B類三胞胎素數：

11-4，11與11+2；

17-4，17與17+2；

這樣，就求得了區間(5, 5²)中的全部B類三胞胎素數。

又比如當k=3時，解方程組B=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+2，解得B=11，41。這兩個素數都滿足B<p²_k+1-2的條件：11, 41<7²-2，因此我們得到一組新的B類三胞胎素數：

41-4，41與41+2。

而解方程組B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+2，得B=17，也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、4或對應的素數減去2，可能的餘數組合只有以上的兩種，所以上面的計算

已經求得了區間(7, 7²)的全部B類三胞胎素數。

k=4時	7m₄+1	7m₄+2	7m₄+3	7m₄+6
B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+1	71	191	101	41
B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+2	197	107	17	167

已經求得了區間(11, 11²)的全部B類三胞胎素數。

仿此下去可以求得給定區域內的全部A類和B類全部三胞胎素數，並且一個不漏地求得。