三胞胎素数

在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。

定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类： A类，中间一个素数与前面一个素数相差2，与后面一个素数相差4，即素数p，p+2，p+6，例如，11,13,17；B类，中间一个素数与前面一个素数相差4，与后面一个素数相差2，即素数p，p+4，p+6，例如13，17,19.

公式

A类三胞胎素数

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数A-2, A, A+4都不能被不大于（A+4）½的任何素数整除，则A-2, A与A+4都是素数”。这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数A不能被不大于（A）½的任何素数整除，则A是素数。

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数p₁,p₂,...,p_k。解方程：

A=p₁m₁+g₁=p₂m₂+g₂=...=p_km_k+g_k(1)

其中<math>g_i≠0，g_i ≠2，g_i≠ p_i-4（保证A-2, A, A+4都不能被任一个素数整除），1<g_i< p_i- 1。

如果解出A<p²_k+1-4，则A-2,A与A+4是一组三胞胎素数。

我们可以把（1）式内容等价转换成为同余方程组表示：

A ≡ g₁ (modp₁), A ≡g₂modp₂), ...,\A ≡ g_kmodp_k(2)

由于（2）式的模p₁、p₂、……、p_k 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的g₁, g₂, ..., g_k，（2）式在p₁ p₂...p_k范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子

例如k=2时，A=2m₁+1=3m₂+1，解得A=7, 13, 19。这三个素数都满足A<p²_k+1-4的条件：7, 13, 19<5^{2-4，因此，这三个素数所对应的素数组：}

7-2，7与7+4；

13-2，13与13+4；

19-2，19与19+4

都是三胞胎素数组。这样，就求得了区间(5, 5²）中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时，设有方程组A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+3，解得A=13 与A=43。其中出现一个新的素数43，而43<7²-4。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+4，解得A=19，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间(7,7²)的全部A类三胞胎素数。

k=4时	7m₄+1	7m₄+4	7m₄+5	7m₄+6
A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+3	43	193	103	13
A=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+4	169	109	19	139

已经得到区间(11,11²)的全部A类三胞胎素数

B类三胞胎素数

对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数B-4, B, B+2都不能被不大于{B+2}½任何素数整除，则B-4, B与B+2都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数p₁,p₂,...,p_k。解方程：

B=p₁m₁+j₁=p₂m₂+j₂=...=p_km_k+j_k(3)

其中j_i≠0 、j_i≠4、j_i≠p_i- 2 。

而如果B<p²_k+1-2，则B-4, B与B+2是一组三胞胎素数。

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示：

B ≡j₁（modp₁）, B ≡j_2（modp₂）, ..., B ≡j_k（modp_k）(4)

同样地，由于（4）式中的模p₁、p₂、……、p_k是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的j₁, j₂, ..., j_k，（4）式在p₁p₂...p_k范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子

例如k=2时，B=2m₁+1=3m₂+2，解得B=11，17。这两个素数都满足B<p²_k+1-2的条件：11, 17<5²-2，因此我们得到两组B类三胞胎素数：

11-4，11与11+2；

17-4，17与17+2；

这样，就求得了区间(5, 5²)中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时，解方程组B=2m₁+1=3m₂+1=5m₃+2，解得B=11，41。这两个素数都满足B<p²_k+1-2的条件：11, 41<7²-2，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：

41-4，41与41+2。

而解方程组B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+2，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算

已经求得了区间(7, 7²)的全部B类三胞胎素数。

k=4时	7m₄+1	7m₄+2	7m₄+3	7m₄+6
B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+1	71	191	101	41
B=2m₁+1=3m₂+2=5m₃+2	197	107	17	167

已经求得了区间(11, 11²)的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。