主元法
| 主元法 |
 |
|
中文名稱；主元法 類別；分解因式方法 簡例；(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc. 特點；可以對多種因式分解 |
所謂主元法分解因式就是在分解含多個字母的代數式時,選取其中一個字母為主元(未知數),將其它字母看成是常數,把代數式整理成關於主元的降冪排列(或升冪排列)的多項式,再嘗試用公式法、配方法、分組法等分解因式的方法進行分解。[1]
目錄
利用方式
較為簡單的利用
1.因式分解(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
分析：如果懂得因式定理的話，解此題自然會流暢很多，但是用主元法的話，也十分簡便。
拆開原式,並按a的降冪排列得：
(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2)
=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】
十字相乘圖為
a--------------- b
(b+c)a -----bc+c2
對於低次因式分解，主元法與十字相乘法的配合是卓有成效的。
2.因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4
分析：本題尚且屬於簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會使原式極其煩瑣，而以x為主元的話，原式的難度就大大降低了。
原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y---------------------【主元法】
=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)---------------------【十字相乘法】
十字相乘圖為
(y-1)2x2 ----8y
x2------------2
如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不會太難了。
高難度的主元法利用
1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz
分析：本題屬於高難度因式分解中的中檔題，如果不假思索就上邊的方法，就會處處碰壁。
1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+32yz2---------------【主元法】
這樣本題的條理就清晰多了，現拋開x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz2,
這是一個2元三次因式分解，難度簡單多了。
原式=6y3-9zy2-(28y2z-32yz2-15z3)-------------------------【拆項法】
=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)
再代入原題目，接下來的工作就簡單了。
由於首項x係數為2，所以本題難度綜合來講不是太難，算出係數2是與(y-5z)結合的。
所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆項法及十字相乘法】
因式分解
競賽類的學生，因式分解的高手可以演算一下,這是個很好的練習,對你們會很有幫助。
因式分解：
-12 m2 p2 + 10 m2 p x - 18 m p2 x + 12 m2 x2+ 15 m p x2 -6 p2 x2+ 18 m x3 + 5 p x3 + 6 x4 - 24 m2 p y - 6 m p2 y +10 m2 x y - 31 m p x y + 6 p2 x y + 21 m x2 y - 17 p x2 y -x3 y - 12 m2 y2 - 12 m p y2 + 36 p2 y2 - 13 m x y2 -18 p x y2 - 47 x2 y2 - 6 m y3 + 72 p y3 - 24 x y3 + 36 y4 +20 m2 p z + 6 m p2 z + 48 m2 x z + 25 m p x z + 66 m x2 z +10 p x2 z + 24 x3 z + 20 m2 y z + 22 m p y z - 30 p2 y z +49 m x y z + 15 p x y z + 16 x2 y z + 16 m y2 z - 120 p y2 z -129 x y2 z - 90 y3 z + 48 m2 z2 - 10 m p z2 + 6 p2 z2 +48 m x z2 - 5 p x z2 + 18 x2 z2 + 14 m y z2 + 62 p y z2+91 x y z2 - 88 y2 z2 - 24 m z3 - 10 p z3 - 24 x z3 +110 y z3 - 24 z4
終於，在其他方法都幾乎失效時，主元法的威力體現了出來。
分析：看題目的確很長，但仔細觀察也能發現其弱點。
1.沒有常數項。
2.首項x的係數很小，預計其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。
3.自開始起，一部分是6的倍數，緊接着是5的倍數，直到至-2zpmy這一項時，這個特點斷掉了。
解題開始：
令x,y,z,p都為0，原式變成了--------2m2
令x,y為0，原式變成了---------------12p2m2
令x為0，原式=-12y3............................+12p2m2,此時正是用主元法的時候，
解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法，拆項法，十字相乘法，提取公因式。 通過把上述的四項依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中，實際上還是要用主元法，
原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)
對於這題，硬碰硬是不行的。
參考來源