仿緊空間

仿緊空間 圖片來自全知識

仿緊空間是數學中，仿緊空間是指一類拓撲空間，他們的每個開覆蓋都有局部有限的（開）加細（精細化）。這類空間的概念於1944年由迪厄多內（Dieudonné）引入 。每個緊緻空間都是仿緊的。每個仿緊的豪斯多夫空間都是正規的。一個豪斯多夫空間是仿緊的當且僅當其任意開覆蓋都可以單位分解。仿緊空間有時也被要求為豪斯多夫的。

目錄

定義

設X為拓撲空間。若X的任意開覆蓋都有局部有限開加細，則稱X為仿緊空間。

例子

緊空間是仿緊空間。度量空間也是仿緊空間。反之未必成立。

性質

拓撲流形為仿緊空間。

簡介

仿緊空間是一類重要的拓撲空間。仿緊空間是緊空間的一種最重要的推廣。對於這一類空間的研究，不僅從內容上推廣了緊空間理論，而且較大地發展了覆蓋方法，有力地推動了一般拓撲學的發展，特別是廣義度量空間理論和度量化問題的廣泛進展。另外，仿緊空間在微分流形、代數拓撲和泛函分析中也有重要的應用。

歷史背景

為了討論拓撲空間的可度量化問題，迪厄多內(Dieudonné，J.)於1944年引入仿緊空間的概念。斯通(Stone，A.H.)於1948年、邁克爾(Michael，E.)於1953年給出了仿緊性的幾個等價條件。森田紀一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)於1960—1962年也分別給出了幾個等價條件。

性質

性質1 集合X的離散拓撲T是X的最大拓撲，即對X的每一個拓撲T1，均有。

證明 由拓撲T1的定義可得： 對A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的離散拓撲意味着T =P(x) ，因此，A∈T，從而由A的任意性可知。

性質2離散拓撲空間(X，T) 中：

①點x的鄰域系是Ux= AX | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的鄰域。

② X的每一個子集既開又閉。

證明對任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是開集。另外，對任意的x ∈ AX，有x∈{x}A，從而由鄰域的定義可知A是X的鄰域。

設A是X中的任一子集，那麼有A∈P(x)=T，即A是開集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是閉集。

註： 一般拓撲空間的子集也可能是既不開也不閉的。

性質3離散拓撲空間(X，T) 中，若AX，則A的導集A' =，即A中不含有任何一個聚點。

證明對任意的x∈X，存在x的一個開鄰域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )=，從而x不是A的聚點，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一個聚點，即A' =。

仿緊性具有閉遺傳性。仿緊T2空間的閉連續像是仿緊T2的。仿緊T2空間是全體正規空間。全體正規空間是仿緊空間。仿緊T2空間中的Fσ集是仿緊的。在完全映射下，仿緊空間的原像是仿緊的。仿緊空間是亞緊的、可數仿緊的、族正規的。可數緊的仿緊空間是緊空間。林德勒夫空間是仿緊的。

同時為第二可數空間的局部緊豪斯多夫空間為仿緊空間。

拓撲

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。 拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中占着重要的地位。

拓撲性質

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：

1．X和空集{}都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。

稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）

從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。

一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。

同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。