倍数

倍数( multiple )，一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。同样的，一个数除以另一数所得的商。如a/b=c，就是说，a是b的倍数。一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。需要注意的是，不能把一个数单独叫做倍数，只能说一个数是另一个数的倍数。

倍数
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定义

一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。

公倍数

定义:两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。

两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。

特征

注意:以下特征是就整数的十进制表示法而言。

(1)2的倍数

一个数的末尾是偶数(0，2，4，6，8)，这个数就是2的倍数。

如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776÷2=1888

(2)3的倍数

一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

如4926。(4+9+2+6)÷3=7，是3的倍数。4926÷3=1642

(3)4的倍数

一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。

如2356。56÷4=14，是4的倍数。2356÷4=589

(4)5的倍数

一个数的末尾是0或5，这个数就是5的倍数。

如7775。7775的末尾为5。7775÷5=1555

(5)6的倍数

一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

(6)7的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

(7)8的倍数

一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。

如7256。256÷8=32，是8的倍数。7256÷8=907

(8)9的倍数

若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

(9)10的倍数

若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

(10)11的倍数

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。如264、3080和95949392，2+4-6=11×0，3+8-0-0=11×1，9×4-(5+4+3+2)=11×2，264、308和95949392都能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。

将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数(如32571，分隔成3 25 71，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数)。

(11)12的倍数

若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

(12)13的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

(13)17的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。

(14)19的倍数

若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数。

(15)23的倍数

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

(16)25的倍数

两位数以上(不包含两位数)，看末两位是否是25的倍数。

(17)125的倍数

三位数以上(不包含三位数)，看后三位是否是125的倍数。

(18)合数的倍数

其实就是质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。

规律

任意两个奇数的平方差是8的倍数。

证明:设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)

(2m+1)^2-(2n+1)^2

=(2m+1+2n+1)*(2m-2n)

=4(m+n+1)(m-n)

当m,n都是奇数或都是偶数时，m-n是偶数，被2整除

当m,n一奇一偶时，m+n+1是偶数，被2整除

所以(m+n+1)(m-n)是2的倍数

则4(m+n+1)(m-n)一定是8的倍数

(注:0可以被2整除，所以0是一个偶数，0也可以被8整除，所以0是8的倍数。)