公理系统
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中文名: 公理系统 外文名: Armstrong's axiom 别 名: 公理化系统 类 型: 系统 性 质: 集合 应用学科: 数学 |
公理系统数学上，（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出定理。[1]
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简介
一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。
性质
一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。
在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。
虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其否定可以导出。
模型
公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽。
模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。
两个模型被称为同构，如果它们的元素可以建立一一对应，并且以一种保持它们之间的关系的方式。一个其每个模型都同构于另一个的公理系统称为范畴式的，而可范畴化的性质保证了系统的完备性。
第一个公理系统是欧氏几何。
公理化方法
公理化方法经常被作为一个单一的方法或着一致的过程来讨论。以欧几里得为榜样，它确实在很多世纪中被这样对待：直到19世纪初叶，在欧洲数学和哲学中古希腊数学的遗产代表了智力成就（在几何学家的风格中，更几何的发展）的最高标准这件事被视为理所当然（例如在斯宾诺莎的著作中所述）。
这个传统的方法中，公理被设定为不言自明的，所以无可争辩，这在19世纪逐渐被扫除，这是随着非欧几何的发展，实分析的基础，康托的集合论和弗雷格在数学基础方面的工作，以及希尔伯特的公理方法作为研究工具的“新”用途而发生的。例如，群论在该世纪末第一个放到了公理化的基础上。一旦公理理清了（例如，逆元必须存在），该课题可以自主的进展，无须参考这类研究的起源—变换群。
所以，现在在数学以及它所影响的领域中至少有3种“模式”的公理化方法。用讽刺描述法，可能的态度有：
1. 接受我的公理，你就必须承担它们的后果。
2.我拒绝你的公理之一并且采纳另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。
3. 我的公理集定义了一个研究领域。
第一种情况定义了经典的演绎方法。第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在20世纪数学中有显著的位置，特别是在基于同调代数的课题中。很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。例如，在政治哲学中，导致不可接受的结论的公理很可能被大量拒绝；所以没有人真的统一上面的第一个版本。
例子
欧几里得公理
任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都全等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
利用这些公理可以得到欧几里得几何学。修改第五条公理可以得到非欧几何学。
皮亚诺公理
1.0是自然数；
2.每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）；
3.0不是任何自然数的后继数；
4.如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
5.任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）
根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
柯尔莫果洛夫公理
假设我们有一个基础集Ω，其子集F为西格马代数，和一个给F的要素指定一个实数的函数P。F的要素是Ω的子集，称为“事件”。
第一公理 对于任意一个集合E∈F， 即对于任意的事件P(E)∈[0,1]。即，任一事件的概率都可以用0到1区间上的一个实数来表示。
第二公理 P(Ω) = 1 , 即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。 这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。
第三公理 任意两两不相交事件E1, E2, ...的可数序列满足P(E1 ∪ E2 ∪ ...) = ∑P(Ei)。 即, 不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。
这三条公理让概率论建立在了坚实的数学基础上。
牛顿运动定律
牛顿第一定律：任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。
满足牛顿第一定律的参考系叫惯性系
牛顿第二定律：在惯性系中，物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。