減函數
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中文名；減函數 外文名；Decreasing function 應用學科；數學，物理，化學 適用領域範圍；高中 性質；函數值隨自變量的增大而減小 |
函數f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2 ，當x1<x2時，都有f(x1)> f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函數，並稱區間D為遞減區間。減函數的圖像從左往右是下降的，即函數值隨自變量的增大而減小。判斷一個函數是否為減函數可以通過定義法、圖像法、直觀法或利用該區間內導數值的正負來判斷。[1]
目錄
定義
一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)> f(x2),那麼就說f(x)在區間D上是減函數。
即隨着自變量x增大，函數值y減小的函數為減函數。
如果函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那麼就或函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D就叫做函數y=f(x)的單調區間。
單調性的證明
用定義法證明單調性的步驟：
（1）任取x1,x2∈D，且滿足x1<x2；
（2）作差f(x1)-f(x2)；
（3）變形（通常是因式分解和配方）；
（4）定號（即判斷f(x1)-f(x2)的正負）；
（5）下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。
在證明函數為減函數時，只需要證明：當x1<x2時f(x1)-f(x2)>0。在減函數的圖像中，函數圖像從左往右是下降的，即函數值隨自變量的增大而減小。
單調性的判斷方法
（1）定義法：即「取值（定義域內）→作差→變形→定號→判斷」；
（2）圖像法：先作出函數圖像，利用圖像直觀判斷函數的單調性；
（3）直接法：就是對於我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間。
（4）求導法：假定函數f在區間[a,b]上連續且在(a,b)上可微，若每個點x∈(a,b)有f'(x)>0，則f在[a,b]上是遞增的；若每個點x∈(a,b)有f'(x)<0，則f在[a,b]上是遞減的。
注意事項
（1）函數的單調性是對函數定義域內的某個子區間而言的，是函數的局部性質；
（2）函數f(x)在給定區間上的單調性是函數在該區間上的整體性質；
（3）函數的單調性定義中x1,x2有三個特徵：任意性、有大小、屬於同一個單調區間；
（4）求函數的單調區間，必須先求定義域。
（5）區間端點的寫法：對於單獨的一點，由於它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在單調性問題，因此在寫單調區間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對於某些點無意義時，單調區間就不包括這些點。
性質
（1）增函數+增函數=增函數；
（2）減函數+減函數=減函數；
（3）增函數-減函數=增函數；
（4）減函數-增函數=減函數。
實例
判斷函數y=-x^3的單調性。
解：易得該函數是整函數，故定義域為R。
（1）利用定義法來判斷該函數的單調性。
任取x1,x2∈R，且滿足x1<x2，則有：
最終兩個因式中第一個因式小於零，第二個因式恆大於零，且兩因式前有一個負號，故有f(x1)-f(x2)>0，即有：當x1-x2<0時，有f(x1)-f(x2)>0，故該函數在R上為減函數。
（2）利用圖像法來判斷。
對於常見函數y=x^3的圖像，如右圖所示，易得該函數圖像從左往右看是上升的趨勢，故該函數在定義域R上為增函數。而函數y=-x^3與y=x^3相差一個負號，在圖象表示為關於x軸對稱，故易得函數y=-x^3的圖像從左往右看是下降的趨勢，因此函數y=-x^3在定義域R上為一個減函數。
（3）利用求導法來判斷。
對函數進行求導，得
恆成立，故有該函數在定義域R上為減函數。
參考來源