切线
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中文名;切线 外文名;tangent 应用学科;数学 定义;一条刚好触碰到曲线上某一点的直线 |
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。[1]
目录
几何定义
P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）。
说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。
代数定义
在高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。
代数几何定义
设V为由根理想∩V在原点的重数为所有多项式fi(t)=Fi(ta1,...,tan)中t的最低次幂的指数。
若为V上p点的切线。
圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
判定定理
一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
一般可用：
1、作垂直证半径
2、作半径证垂直
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
判定和性质
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点半径。
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点，
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线长定理
定理： 从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线，它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可；
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角，正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，它是圆中证明角相等的重要定理之一。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
参考来源