哈密頓力學

哈密頓力學是哈密頓於1833年建立的經典力學的重新表述，它由拉格朗日力學演變而來。拉格朗日力學是經典力學的另一表述，由拉格朗日於1788年建立。哈密頓力學與拉格朗日力學^[1]不同的是前者可以使用辛空間而不依賴於拉格朗日力學表述。關於這點請參看其數學表述。

適合用哈密頓力學表述的動力系統稱為哈密頓系統。

哈密頓系統的幾何

哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E，其纖維Et，t ∈ R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢（射流叢）J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是餘切空間T*Et，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量。

任何辛流形上的光滑實值函數H可以用來定義一個哈密頓系統。函數H稱為哈密頓量或者能量函數。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的向量場，稱為辛向量場。

該辛向量場，稱為哈密頓向量場，導出一個流形上的哈密頓流。該向量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維爾定理^[2]每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流導出的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。

哈密頓向量場也導出一個特殊的操作，泊松括號。泊松括號作用於辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。

哈密爾頓系統可以幾種方式推廣。如果不僅簡單的利用辛流形上的光滑函數的結合代數，哈密爾頓系統可以用更一般的交換有單位的實泊松代數表述。一個狀態是一個（裝備了恰當的拓撲結構的）泊松代數上的連續線性泛函，使得對於代數中的每個元素A，A2映射到非負實數。

經典力學的哈密頓理論劉玉斌全29講材料的電學、光學與磁學性能——哈密頓力學