四維空間 - 標準歐幾里德空間

四維空間 - 標準歐幾里德空間

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四維空間，也叫做"歐幾里得四維空間"，是標準歐幾里德空間。它是一個數學概念，可以拓展到n維;四維空間的第四維指與x，y，z同一性質的空間維度。

在物理學和數學中，可將n個數的序列理解為一個n 維空間中的位置。當n=4時，所有這樣的位置的集合就叫做四維空間。四維空間和人居住的三維空間不同，因為多了一個維度。

通過一維、二維、三維空間的演變，人們提出了關於四維空間的一些猜想。儘管這些猜想現在並不能證明是正確的，但科學理論有很多是由猜想開始的。現今科學理論一般是基於現象總結規律，而關於四維空間的現象沒有足夠準確清晰的認識，或者看到了這種現象卻並沒有想到是四維空間引起的。

當然也可以定義點線面的拓撲空間為第四維、第五維、第六維以至第N維。這在數學公式推理推導中很容易實現，但現實很難對應和想像。

但一般人提到"四維空間"時，卻經常會將其與愛因斯坦在相對論中提及的"四維時空"(叫做"閔可夫斯基空間")相混淆。

目錄

基本信息

中文名稱； 四維空間

外文名稱； four-dimensional space

別名； 四度空間，四次元，四次元空間，歐幾里得四維空間

表達式； ax+by+cz+du=0

應用學科； 數學

物理學； 日常誤用

四維時空與四維空間 "四維時空"(叫做"閔可夫斯基空間")，愛因斯坦在他的廣義相對論和狹義相對論中提及，主要表述為"宇宙是由三維空間和一維時間組成的'四維時空'"，所指的"第四維"與其它三維性質有很大差異。而"四維空間"概念中所說的"第四維"是指和其它三維性質一樣的空間維度。

兩個概念完全不同，但長期的誤用使得大眾經常混淆這兩個概念。一般人說到"四維空間"時，經常是誤指四維時空概念，以至於有"四維空間的第四維是時間"這樣的混亂說法出現。

這種普遍性的誤用，是由於相對論的相關科普和文藝作品的流行。而對於不了解相對論的人而言，這極容易造成對於相對論的錯誤理解。

關於這一點，考克斯特曾寫道:

把時間作為第四維數帶來的好處，即使有也微不足道。實際上，H. G. 威爾斯在《時間機器》中發展的這種十分吸引人的觀點導致了J. W. 杜恩(《時間實驗》)等作者對相對論有非常錯誤的理解。閔可夫斯基的時空幾何是不符合歐幾里得體系的，所以也就與當前的研究沒有關係。- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes

當然，站在科學精神的角度講，沒人會阻止提出"四維空間的第四維是時間"這麼一個假說出來。但無論怎樣，弄清"四維時空"和"四維空間"兩個概念是十分有必要的。

定義

一個有四個空間性維數的空間("純空間性"的四維空間)，或者說有四個兩兩正交的運動方向的空間。這種空間就是數學家們用來研究四維幾何物體的空間。

從數學方面講，普通三維空間集合的四維等價物是歐幾里得四維空間，一個四維歐幾里得賦范向量空間。

正交性

在人所熟悉的三維空間裡，有三對主要方向:上下(高度)，南北(緯度)，東西(經度)。這三對方向兩兩正交，也就是說，它們兩兩成直角。從數學方面講，它們在三條不同的坐標軸，x，y，z上。計算機圖形學中講的深度緩衝指的就是這條z軸，在計算機的二維屏幕上代表深度。

純空間性的四維空間另有一對垂直於其他三個主要方向的主要方向。這一對方向處在另一條同時垂直於x，y，z軸的坐標軸上，通常稱作w軸。對這兩個方向的命名，人們的看法不一。一些現行的命名有安娜/卡塔，斯皮希圖/斯帕提圖，維因/維奧，和宇普西龍/德爾塔。這些額外的方向處於(實際上是垂直於)我們所能觀察到的三維世界中的方向之外。

維數

直觀地，一個圖形的維數可以認為是一個人要想達到這個圖形中所有的點，需要運動的所有不同方向的數目。

例如，一個點是一個零維圖形。我們不需要任何向量來張出它，因為如果我們從這個點出發，我們已經到達了它所有的位置。

一條直線是一個一維圖形。從直線的某一個點上出發，我們需要一個指向這個直線的方向的向量來到達到直線上的其他點。只要一個向量就足夠了，因為通過不同程度的伸縮它我們可以到達直線上的任意其他點。

一個平面是一個二維圖形。給定平面上的一個起始點，我們至少需要兩個互不平行的向量來張出這個平面。如果只有一個向量，我們只能到達某一條直線上的所有點;所以我們需要有另一個與它不平行的向量來往這條直線的"兩邊"走，從而到達平面上的其他點。只要兩個方向就足夠了，因為我們可以順着(或逆着)前一個向量走不同的距離，再往兩邊走不同的距離來到達平面上的任意點。也可以把平面理解成許多平行線的"堆積";要想在二維平面上從一點運動到另一點，我們需要首先沿着線平行線運動，再穿過這些平行線向另一個方向運動。

在我們的眼中，空間是三維的。要達到空間中的某一點，我們不僅要向前向後、向兩邊走，還需要上下移動。換句話說，需要第三個向量才能到達空間中的所有點。同樣，也可以把空間理解成許多平行平面的堆積:要想在空間中從一點運動到另一點，我們可以先沿着一個方向前後走，再向兩邊走，最後上下走。

四維空間則是一個需要四個不同方向才能到達其中所有點的空間。這種空間可以認為是許多平行的三維空間的堆積。要理解這個概念，想象一下把一張張紙並列疊起來的過程。如果人不把它們一個個堆疊起來，這些紙張不會延伸進三維空間。以同樣的方式，要想進入四維空間，就必須向一個新的方向運動，這個方向必須是在三維空間以外的。要達到四維空間中的每一個點，一個人不僅需要向前後、左右、上下移動，還要沿着一對新的方向運動，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫維因/維奧等等。

維數類比

要理解四維空間的本性，我們可以通過與低維度類比進行推廣。維數類比是指通過研究n - 1維與n維之間的關係，來推斷n維與n + 1維之間會有什麼樣的關係。

埃德溫·阿伯特·阿伯特在他的書平面國中運用維數類比，講述了在一個扁平得就像一張紙的二維世界中生活的一個正方形的故事。在這個正方形的眼中，生活在三維世界中的人們擁有近乎神的力量，因為他們能在不打破(二維的)保險箱的情況下從其中把東西(通過移入移出三維空間的方法)取出，能看到所有在二維世界看來是被擋在牆後面的東西，甚至能站在離二維世界幾英寸的地方來保持"隱形"。

通過應用維數類比，人們可以推斷，四維空間中的人在我們三維的視角看來應該有類似的神奇能力。魯迪·拉克在他的小說《空間世界》(Spaceland)中展示了這一點。小說的主人公就遇到了具有神奇能力的四維人。

四維研究

摘要

幾何不一定是真實現象的描述，幾何空間和自然空間並不能完全等同看待，純概念的研究幾何的發展是數學界的一個里程碑。從零維空間到三維空間，尤其是從三維空間到四維空間的發展更是幾何學的一次革命。

關鍵詞

零維;一維;二維;三維;四維;n維;幾何元素;點;直線;平面。

發展歷程

n維空間概念，在18世紀隨着分析力學的發展而有所前進。在達朗貝爾.歐拉和拉格朗日的著作中無關緊要的出現第四維的概念，達朗貝爾在《百科全書》關於維數的條目中提議把時間想象為第四維。在19世紀高於三維的幾何學還是被拒絕的。麥比烏斯(karl august mobius 1790-1868)在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。

但後來他又說:這樣的四維空間難於想象，所以疊合是不可能的。這種情況的出現是由於人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結果。以至直到1860年，庫摩爾(ernst eduard kummer 1810-1893)還嘲笑四維幾何學。但是，隨着數學家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數，數學家們才學會了擺脫"數學是真實現象的描述"的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數曾經是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性。把虛數作為直線上的一個定向距離，把複數當作平面上的一個點或向量，這種解釋為後來的四元數，非歐幾里得幾何學，幾何學中的復元素，n維幾何學以及各種稀奇古怪的函數，超限數等的引進開了先河，擺脫直接為物理學服務這一觀念迎來了n維幾何學。

1844年格拉斯曼在四元數的啟發下，作了更大的推廣，發表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說:

我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數學的科學，只是在對(物理)空間作特殊應用時才構成幾何學。

然而擴張演算中的定理並不單單是把幾何結果翻譯成抽象的語言，它們有非常一般的重要性，因為普通幾何受(物理)空間的限制。格拉斯曼強調，幾何學可以物理應用發展純智力的研究。幾何學從此開始割斷了與物理學的聯繫而獨自向前發展。

經過眾多的學者的研究，遂於1850年以後，n維幾何學逐漸被數學界接受。

研究

四維空間的概念也可以通過解析幾何的手段來研究。在那裡我們可以利用代數方程來表示幾何概念。為了利用這個手段進行觀察以導致對四維空間的理解，我們來研究三維空間體系中的三個幾何元素--點、直線和平面的方程。利用笛卡爾系統表示，我們可以寫出:

點的方程:ax + b = 0 (坐標系:直線上的一個點)。

直線的方程:ax + by + c = 0 (坐標系:平面上的兩條正交直線)。

平面的方程:ax + by + cz + d = 0 (坐標系:三維空間的三個互相垂直的平面)。

從上面的研究我們可以看出:

所表示的每一個幾何元素(或空間)的方程中的變量數目，等於這個空間的維數加1。

坐標系中的幾何元素與被表示的幾何空間的幾何元素的維數相同。

在這個坐標系中，幾何元素的數目等於被表示的空間的維數加1。在坐標系中，幾何元素的這個數目是最低要求。

用來表示幾何元素的坐標系，位於比它所含有的幾何元素高一維的空間裡。

根據上述觀察，我們可以寫出三維空間的下述方程。應當注意:這個方程有四個變量(x、y、z、u)。

ax + by + cz + du + e = 0

根據這公式我們可以斷定:

1. 這個坐標系的幾何元素有三維，即它們是三維空間。

2. 在這個坐標系中有四個三維空間。

3. 這個坐標系位於一個四維空間裡。

我們對於四維空間乃至更高空間的研究，不是通過實驗總結的方式，在現實中我們很難發現並推導出它們的一般規律，對於這些問題，我們可以採取一種新的研究方式。即:純概念的研究。通過這種方式，我們可以容易的推導出這些很重要但在現實中不易想象的新內容。

軸對稱性

對於四維空間，人們普遍認為空間有軸對稱性，或是中心對稱。譬如，倘若一個三維空間的人進入四維空間，並且按照適當的方式"旋轉"一下再回到三維空間，那麼他會被'軸對稱'一下(這在三維空間中當然是不可能實現的，除非運用三維版本的麥比烏斯帶)。當然，由於沒有人進入四維空間，所以這只是一個從二維空間類比而得的假設，無法進行驗證。但是關於時間軸的觀點以及時空錯亂瞬間的現象與這是相符的。

從二維空間的一個圖形是不能在二維空間進行對稱的，但進入三維空間，就可以通過進行翻轉回到二維空間時，就可以實現對稱，因為在二維空間是不能進行翻轉的，只能旋轉或平移。因此我們可以推測三維物體進入了四維空間，再回到三維空間可能物體會被"軸對稱"一下。