外微分
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中文名: 外微分 外文名: exterior differentiation 別 名: 微分形式 性 質: 反對稱協變張量場 應用學科: 微分幾何 |
數學上，微分拓撲的外微分算子，把一個函數的微分的概念推廣到更高階的微分形式的微分。它在流形上的積分理論中極為重要，並且是德拉姆和Alexander-Spanier上同調中所使用的微分算子。其現代形式是由嘉當發明的。[1]
目錄
定義
一個k階微分形式的外微分是一個k+1階的微分形式。對於一個k-形式ω =fIdxI在R上，其定義如下：
。
性質
外微分滿足三個重要性質： （1）線性 （2）楔積法則 （3）d2=0，蘊涵了混合偏導數的恆等式的公式，所以總有 可以證明外微分由這些性質和其與0形式（函數）上的微分的一致性唯一決定。d的核由閉形式組成，而其像由恰當形式組成 。
坐標不變公式
給定一個k-形式ω和任意光滑向量場V0,V1, …, Vk我們有 特別的有，對於1-形式，我們有：
更一般的，李导数由李括号定义： 而一般微分形式的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的。
微積分中
下面的對應關係揭示了向量微積分的諸多公式實際上只是上述外微分的三個法則的特殊情況而已。
梯度
對於一個0-形式，也就是一個光滑函數f:R→R，我們有
所以，对于向量场V 其中grad f代表f的梯度而<·, ·>是标量积。
旋度
對於一個1-形式
在R上， 就是
因此，對於向量場U, V=[u,v,w]和W我們有
其中curl V代表V的旋度×是向量积，而<·, ·>是标量积。
散度
對於一個2-形式
我们得到
其中V是一個向量場定義為V=[p,q,r].
範例
對於1-形式
onR我们有 这刚好就是在格林定理中被积分的2-形式。
向量微積分的恆等式： 與 皆是外微分第三性質——
的特例。
參看
外共變導數 格林定理 斯托克斯定理