多面體

摺紙組合多面體原圖鏈接來自 新浪網 的圖片

多面體（polyhedron）是指三維空間中由平面和直邊組成的幾何形體。英文 polyhedron 源於古希臘語 πολύεδρον，由poly-（詞根 πολύς，多）和 -hedron（έδρα，基底、座、面）構成，即意為「多面體」。

然而，「由平面和直邊組成的有界體」的定義方式並不明確，對現代數學而言更是不合格。克羅地亞數學家 Grünbaum 曾評論道：「多面體理論的原罪可追溯至歐幾里得，還有之後的開普勒、龐索、柯西……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。」自此，數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義，但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。

目錄

定義

由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的多邊形叫做多面體的面。兩個面的公共邊叫做多面體的棱。若干條棱的公共頂點叫做多面體的頂點。把多面體的任何一個面伸展，如果其他各面都在這個平面的同側，就稱這個多面體為凸多面體。多面體至少有4個面。多面體依面數分別叫做四面體、五面體、六面體等等。把一個多面體的面數記作F，頂點數記作V，棱數記作E，則F、E、V滿足如下關係：F+V=E+2。

這就是關於多面體面數、頂點數和棱數的歐拉定理，每個面都是全等的正多邊形的多面體叫做正多面體。每面都是正三角形的正多面體有正四面體、正八面體和正二十面體。每面都是正方形的多面體只有正六面體即正方體，每面都是正五邊形的只有正十二面體。由歐拉定理可知一共只有這5種正多面體。

有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的多面體叫做稜柱(如圖1)。兩個互相平行的面叫稜柱的底面，其餘各面叫稜柱的側面，兩個側面的公共邊叫做稜柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做稜柱的頂點。不在同一個面上的兩個頂點的連線叫稜柱的對角線。兩個底面間的距離叫做稜柱的高。側棱不垂直於底面的稜柱叫做斜稜柱。側棱垂直於底面的稜柱叫做直稜柱。底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱。底面是三角形、四邊形、五邊形……的稜柱分別叫做三稜柱、四稜柱、五稜柱……。容易看出稜柱的側棱的長都相等，側面都是平行四邊形。兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形。過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形。直稜柱的側棱長與高相等，側面及經過不相鄰的兩條側棱的截面都是矩形。底面是平行四邊形的四稜柱叫做平行六面體。底面是矩形的直平行六面體叫做長方體。棱長都相等的長方體叫做正方體。易見長方體的一條對角線的長的平方等於一個頂點上3條棱長的平方和，稱垂直於側棱並與每條側棱都相交的截面為稜柱的直截面。斜稜柱的側面積等於它的直截面的周長與側棱長的乘積。直稜柱的底面是直截面，因此直稜柱的側面積等於它的底面的周長與一條側棱長的乘積。稜柱的體積等於它的底面積與高的乘積。

特徵

面與面之間僅在棱處有公共點，且沒有任何兩個面在同一平面上。

一個多面體至少有四個面。

經典多面體

在經典意義上，一個多面體是一個三維形體，它由有限個多邊形面組成，每個面都是某個平面的一部分，面相交於邊，每條邊是直線段，而邊交於點，稱為頂點。立方體，稜錐和稜柱都是多面體的例子。多面體包住三維空間的一塊有界體積；有時內部的體也視為多面體的一部分。一個多面體是多邊形的三維對應。多邊形，多面體和更高維的對應物的一般術語是多胞體。

視頻

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