平穩時間序列預測法

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平穩時間序列預測法是中國的一個專有名詞術語。

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目錄

名詞解釋

1、時間序列Yt取自某一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特徵不隨時間變化，則稱過程是平穩的；假如該隨機過程的隨機特徵隨時間變化，則稱過程是非平穩的。

2、寬平穩時間序列的定義：設時間序列yt，對於任意的t,k和m，滿足：

E(yt) = E(yt + m)

cov(yt,yt + k) = cov(yt + m,yt + m + k)

則稱yt寬平穩。

3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統計預測方法。他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規、結構化的建模方法，並且具有統計上的完善性和牢固的理論基礎。

4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive），移動平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

（1）自回歸模型AR(p)：如果時間序列yt滿足

y_t=\phi_1 y_{t-1}+\ldots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t

其中εt是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足：

E(\epsilon_t)=0,Var(\epsilon_t)=\sigma^2_\epsilon>0

則稱時間序列yt服從p階自回歸模型。或者記為φ(B)yt = yt − k。

平穩條件：滯後算子多項式\phi(B)=1-\phi_1 B+\ldots+\phi_p B^p的根均在單位圓外，即φ(B) = 0的根大於1。

（2）移動平均模型MA(q)：如果時間序列yt滿足：

y_t=\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\ldots-\theta_q\epsilon_{t-q}

則稱時間序列 服從q階移動平均模型。或者記為yt = θ(B)ε1。

平穩條件：任何條件下都平穩。

（3）ARMA(p,q)模型：如果時間序列yt滿足

y_t=\phi_1 y_{t-1}+\ldots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\ldots-\theta_q\epsilon_{t-q}

則稱時間序列yt服從(p,q)階自回歸移動平均模型。或者記為φ(B)yt = θ(B)εt。

特殊情況：q=0,模型即為AR(p)，p=0, 模型即為MA(q)。

時間序列的自相關分析

1、自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行、較為直觀，根據繪製的自相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初步地識別平穩序列的模型類型和模型階數。利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩性，以及時間序列的季節性。

2、自相關函數的定義：滯後期為k的自協方差函數為：rk = cov(yt − k,yt)，則yt的自相關函數為：\rho_k=\frac{r_k}{\sigma_{y_{t-k}}\sigma_{y_t}}，其中\sigma^2_{y_t}=E(y_t-E(Y_t))^2。當序列平穩時，自相關函數可寫為：\rho_k=\frac{r_k}{r_o}。

3、樣本自相關函數為：\hat{\rho_k}=\frac{\sum^{n-k}_{t=1}(y_t-\bar{y})(y_{t+k}-\bar{y})}{\sum{n}{t=1}(y_t-\bar{y})^2}，其中\bar{y}=\sum{n}{t=1}y_t/n，它可以說明不同時期的數據之間的相關程度，其取值範圍在-1到1之間，值越接近於1，說明時間序列的自相關程度越高。

4、樣本的偏自相關函數：

平穩時間序列預測法

5、時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關係的特徵。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則：

①若時間序列的自相關函數基本上都落入置信區間，則該時間序列具有隨機性；

②若較多自相關函數落在置信區間之外，則認為該時間序列不具有隨機性。

6、判斷時間序列是否平穩，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩性的準則是：

①若時間序列的自相關函數\hat{\rho_k}在k>3時都落入置信區間，且逐漸趨於零，則該時間序列具有平穩性；

②若時間序列的自相關函數更多地落在置信區間外面，則該時間序列就不具有平穩性。

7、ARMA模型的自相關分析

AR(p)模型的偏自相關函數φkk是以p步截尾的，自相關函數拖尾。MA(q)模型的自相關函數具有q步截尾性，偏自相關函數拖尾。這兩個性質可以分別用來識別自回歸模型和移動平均模型的階數。ARMA(p,q)模型的自相關函數和偏相關函數都是拖尾的。