平面角

平面角

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中文名；平面角 拼音；píng miàn jiǎo 注音；ㄆㄧㄥˊ ㄇㄧㄢˋ ㄐㄧㄠˇ

平面角由射線——點——射線構成，是從平面內一點出發的兩條射線（半直線）所組成的圖形。 平面角的大小定義為以兩射線交點為圓心的圓被射線所截的弧長與半徑之比，單位包括弧度和角度、角分、角秒等。

目錄

具體定義

幾何之父歐幾里得曾定義角為在平面中兩條不平行的直線的相對斜度。普羅克魯斯認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨認為角是相對一直線的偏差，安提阿的卡布斯認為角是二條相交直線之間的空間。歐幾里得認為角是一種關係，不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的。   平面角是以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 或者從二面角的棱上任一點在兩個半平面內分別作垂直於棱的射線，則這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 1.二面角就是用它的平面角來度量的。一個二面角的平面角多大，我們就說個二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角與點（或垂直平面）的位置無任何關係，只與二面角的張角大小有關。

表示方法

角通常用三個字母表示：兩條邊上的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間。概述圖中的角用∠AOB表示。但若在不會產生混淆的情形下，也會直接用頂點的字母表示，例如角∠O。 在數學式中，一般會用希臘字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。為避免混淆，符號π一般不用來表示角度。 以角的端點為圓心做圓弧。由於圓弧的半徑和弧長成正比，而角是長度的比例，所以圓的大小不會影響角的測量。 弧度：用角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的半徑，一般記作rad。弧度是國際單位制中規定的角的度量，但卻不是中國法定計量單位，角度則是角在中國的法定計量單位。此外，弧度在數學及三角學中有廣泛的應用。 角度：由角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以360的結果，一般用°來標記，讀作「度」。一度可以繼續分為60「分」或3600「秒」。角度在天文學和全球定位系統中有重要應用。 梯度：是角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以400的結果。

其他測量單位

角度的量測可以視為弧長s和半徑r的比例，再依選用單位乘以一比例係數

。

例如以上的弧度、角度和梯度，其轉換係數n分別為

、360和400。

以下是一些其他的測量單位，對應不同的n值。 圈數或轉數（n=1）：是指完整旋轉一圈，依應用的不同，會簡寫為cyc、rev或rot，不過在每分鐘轉速（RPM）的單位中，只用一個字母r表示。 直角（n=4）：是1/4圈，是幾何原本中用的角度單位，直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。 時角（n=24）：）常用在天文學中，是1/24圈。此系統是用在一天一個周期的循環（例如星星的相對位置），其六十進制下的子單位稱為「時間分角」及「時間秒角」，這兩個單位和角度的角分及角秒不同，前者大小為後者的十五倍。1時角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。 米位（n=6000–6400）：此單位是指一個單位大約等於毫弧度的角度，有許多不同的定義，其數值從0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度約為0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公約組織的國家中，米位定義為圓的1/6400。其數值大約等於一個角度的弧長為一米，其半徑為一公里的角度（2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000）。 角分（n=21,600）：定義為一度的1/60，是1/21600圈，會用′表示，例如3°30′ 等於 3+30/60 度，也就是3.5度，有時也會出現小數，例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定義為在地球的大圓上一角分的弧長。 角秒（n=1,296,000）：定義為一角分的1/60，會用″表示，例如3°7′30″等於3 + 7/60 + 30/3600 度，或是3.125度。

正角和負角

以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時，會將角的數值加上正負號，以標明是相對參考物不同方向的旋轉。 在二維的笛卡兒坐標系中，角一般是以x軸的正向為基準，若往y軸的正向旋轉，則其角為正角，若往y軸的負向旋轉，則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時針的旋轉對應正角，順時針的旋轉對應負角。 一般而言，−θ角和一圈減去θ所得的角等效。例如−45°和360°−45°（=315°）等效，但這隻適用在用角表示相對位置，不是旋轉概念時。旋轉−45°和旋轉315°是不同的。 在三維的幾何中，順時針及逆時針沒有絕對的定義，因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準，一般會以一個通過角的頂點，和角所在平面垂直的向量為基準。 在導航時，導向是以北方為基準，正向表示順時針，因此導向45°對應東北方。導向沒有負值，西北方對應的導向為315°。

量測角的方法

除了量測角本身的大小外．也有其他的方式，可以量測角的大小。 坡度等於一個角的正切值，常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時，其坡度近似於角以弧度表示的數值。 在有理幾何學中，一個角的大小是以伸展度（spread）來表示，伸展度定義為角對應正弦的平方，而任一角正弦的平方和該角補角正弦的平方相等。因此任一角和其補角在有理幾何學中是等同的。

角的種類

零角角度等於0°,或一條線 銳角角度大於0°且小於90°，或弧度大於0且小於π/2的角。 直角角度等於90°，或弧度為π/2的角。 鈍角角度大於90°且小於180°，或弧度大於π/2且小於π的角。 平角角度等於180°，或弧度為π的角。 優角或反角角度大於180°且小於360°，或弧度大於π且小於2π的角。 周角角度等於360°，或弧度為2π的角。

參考來源

二面角概念及其平面角