广勾股定理

广勾股定理

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广勾股定理:在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍.

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基本信息

中文名称； 广勾股定理

拼音； guanggougudingli

别称； 余弦定理

意义； 反映直角三角形三边间的度量关系

产生背景； (余弦定理)

勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即"斜边的平方等于两直角边的平方之和".如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢?这就涉及到广勾股定理了.

定理定义

在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍.

证明

设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2-4).作CH⊥AB于H，

根据勾股定理:BC^2 = BH^2 + CH²

而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

带入后有:BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后:BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 式(1)

钝角时的证明如下，与上面有点类似:

BC^2 = BH^2 + CH^2

而BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2

同理:BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后:BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·AH

推广(高中余弦定理的导出):

设:CosA = AH/AC

则:AH = AC·CosA 代入式(1)则有:

BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AC·CosA