序數

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序數是是指全國科學技術名詞審定委員會公布的科技名詞。

漢字是民族靈魂的紐帶，在異國他鄉謀生，漢字便是一種寄託，哪怕是一塊牌匾、一紙小條，上面的方塊字會像磁鐵般地吸引着你，讓你感受到來自祖國的親切。因為那中國人的情思已經濃縮為那最簡單的橫豎撇捺。

目錄

名詞解釋

序數，為集合論基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

種類

第一種是0；第二種是某一序數α的後繼α′=α∪{α},稱為後繼序數；其他序數屬於第三種，稱為極限序數。對於任何良序集A，必有一個且僅有一個序數α使A與α序同構，此時α稱為A的序數，用凴 =α表示。任何兩個具有相同序數的良序集，必定序同構，因此序數是同構良序集的共同特徵，這正是康托爾序數概念的實質。

相關概念

偏序全序和良序

次序是二元關係（見映射）的一個非常重要的類型。

設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係：

①對於一切x∈A有xRx（自反性）；

② 對於一切x，y∈A，由xRy與yRx可得x=y（反對稱性）；

③對於一切x，y，z∈A，由xRy與yRz可得xRz（傳遞性），就稱R是定義在A上的偏序，也稱半序。偏序R通常記為≤或≤，α≤b）讀作α在b前。

集合A連同其上定義的偏序≤，稱為偏序集，記為〈A，≤〉。實數集上的通常的大小關係、集合之間的被包含關係、自然數之間的可整除關係都是偏序的例。設≤為A上的偏序。如果在A上定義一個關係<；，使得x<y當且僅當x≤y且x≠y，則關係<；滿足條件：

①′對任何x∈A，x<x不成立

②′由x<y與y<z可得x<z。這時<；稱為嚴格偏序。反之，設<；為嚴格偏序，如果定義x≤y當且僅當x<y或x=y，則≤必為偏序。

因此在偏序與嚴格偏序之中只需討論一種就夠了。設〈A，≤〉為一偏序集，如果x0∈A且在A中沒有其他x使x≤x0，則稱x0為A的一個極小元（素）。如果對於一切x∈A有x0≤x，則稱x0為A中的最小元（素），正整數集在整除的偏序下1是最小元，但若只限於大於1的整數，則只有極小元（每個質數）而無最小元。

仿此可定義極大元與最大元。設x為偏序集〈A，≤〉的子集，如果存在α∈A，使得對於一切x∈x，有α≤x，則稱α為x（關於A）的一個下界。如果x的關於A的一切下界有一最大元α0，就稱α0為x（關於A）的下確界，記為infx。仿此可定義上界和上確界，後者記為supx。

A上的偏序≤，如果再加上條件④對於一切x，y∈A，總有x≤y或y≤x（至少有一成立），就稱≤為A上的全序，也稱線序。〈A，≤〉稱為全序集。顯然，在全序集中x<y，x=y，x>y，三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集的例。

對於全序集〈A，≤〉如果再加上條件⑤A的任一非空子集都有最小元，就稱≤為A上的良序，〈A，≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整數全體，區間[0，1]，就不是良序集。設<A，≤1>,<B，≤2>；為兩個偏序集，如果存在A到B的雙射φ使得對於一切x，y∈A,x≤1y當且僅當φ(x）≤2φ（y），便稱兩偏序集為序同構，記為A埍B。例如奇數集與偶數集序同構，但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。