當且僅當

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當且僅當是全國科學技術名詞審定委員會公布的一個科技名詞。

漢字作為一種形、音、義三位一體的符號系統，源於日月鳥獸之形，作為中華文明之標誌，連接中華民族的歷史、現在和未來，方正之間充滿美感。

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名詞解釋

當且僅當(英文：If and only if, 或者：iff)，或稱若且唯若，在數學、哲學、邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在，並且僅僅在這些條件成立的時候」的縮寫，在英語中的對應標記為iff。

證明

設A與B為兩命題，在證明「A當且僅當B」時，這相當於去同時證明陳述「如果A成立，則B成立」和「如果B成立，則A成立」。另外，也可以證明「如果A成立，則B成立」和「如果A不成立，則B不成立」，後者作為對偶，等價於「如果B成立，則A成立」。

雖然「A當且僅當B」是一個標準用法，但是公認的其他同樣說法還有「B是A的充分必要條件（或稱為充要條件）」，或者「A成立，正當B」。

一般而言，當我們看到「A當且僅當B」，我們可以知道「如果A成立時，則B一定成立」、「如果B成立時，則A也一定成立」、「如果A不成立時，則B也一定不成立」、「如果B不成立時，則A也一定不成立」。

當且僅當A（命題）成立時，B（命題）成立。

也可表示成：B（命題）成立時，A（命題）成立 ；A（命題）成立時，B（命題）成立。即B（命題）等價於A（命題）。

通俗一點來說，就是「在這些情況下，並且僅僅在這些情況下」。

英語縮寫iff

在出版物中，英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯，但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處，他只是首先在數學領域使用。

不同

簡單地，如下的兩個例子可以說明這兩者的不同：

1.當冰淇淋是香草口味的，小王會吃這個冰淇淋。（這等於說：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王會吃這個冰淇淋。）

2.當且僅當冰淇淋是香草口味，小王會吃這個冰淇淋。（這等於說：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王會吃這個冰淇淋；並且，如果小王吃冰淇淋，那麼這個冰淇淋就是香草口味的。）

第1句只是說小王會吃香草口味的冰淇淋。但是這並沒有排除他還會吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他會吃，可能不會。這個句子並沒有告訴我們。我們所能夠肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。

但是第2句闡述的非常明確，就是小王會吃並且只吃香草口味的。他不會吃任何其它口味的冰淇淋。

思考

用「當且僅當」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「當且僅當」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「A當且僅當B」，是用「A」和「B」來陳述A和B所描述的事件狀況之間的關係。

相對照的，「A邏輯等價於B」則注重兩個句子：它只是陳述兩個句子之間的關係，而不是它們所介紹的什麼事情。

這裡的區別非常容易混淆，已經使得很多哲學家迷惑。當然，在「A」邏輯等價於「B」的時候，「A」當且僅當「B」為真，但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子：

小王今天要吃冰淇淋當且僅當它是香草口味的。

很清楚，對於這個特定的雙條件句，兩個半句之間並沒有邏輯等價。如想了解更多的差異，請參照W. V. Quine的《數理邏輯，第5節》。

在哲學和邏輯學中，「當且僅當」通常用作定義，因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中，相比起「當且僅當」，如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到「當且僅當的」真陳述，也是真雙條件句（第一句是一個定義的例子）：

一個人是單身男性當且僅當他是一個未婚的而且是可結婚的男人。

x+1=2當且僅當x=1。

對於任意的A,B, 和C：(A&B) &C當且僅當A& (B&C)。（因為這句句子是用變量和&的形式來寫得，陳述也通常會使用「

」，或者其它用來寫雙條件句的符號，來代替「當且僅當」）

用法

「當且僅當」在邏輯領域以外，如同在數學出版物或者普通的談話中都會用到。如同上面所說，它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。（即使如此，相比起「當且僅當」，「如果」一般多出現在定義的陳述中。）