微分動力系統

微分動力系統

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動力系統 (dynamical system)是數學上的一個概念。在動力系統中存在一個固定的規則，描述了幾何空間中的一個點隨時間演化情況。例如描述鐘擺晃動、管道中水的流動，或者湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動力系統。

目錄

簡介

在動力系統中有所謂狀態的概念，狀態是一組可以被確定下來的實數。狀態的微小變動對應這組實數的微小變動。這組實數也是一種流形的幾何空間坐標。動力系統的演化規則是被一組函數控制，它描述未來狀態如何依賴於當前狀態的。這種規則是確定性的，即對於給定的時間間隔內狀態只能演化出一個未來的狀態。在動態系統中有所謂狀態的概念，狀態是一組可以被確定下來的實數。狀態的微小變動對應這組實數的微小變動。這組實數也是一種流形的幾何空間坐標。動態系統的演化規則是一組函數的固定規則，它描述未來狀態如何依賴於當前狀態的。這種規則是確定性的，即對於給定的時間間隔內，從現在的狀態只能演化出一個未來的狀態。若只是在一系列不連續的時間點考察系統的狀態，則這個動態系統為離散動態系統；若時間連續，就得到一個連續動態系統。如果系統以一種連續可微的方式依賴於時間，我們就稱它為一個光滑動態系統。

評價

自然界中常出現一些隨時間而演變的體系，如行星系、流體運動、物種綿續等等，這樣的一些體系，如果都有數學模型的話，則它們的一個共同的最基本的數學模型是：有一個由所有可能發生的各種狀態構成的集合X並有與時間t有關的動態規律φt:X→X。這樣,一個狀態x∈X隨時間t變動而成為狀態φt(x)。如果X是歐幾里得空間或一般地是一個拓撲空間,時間t占滿區域(-,)，動態規律φt還滿足其他簡單且自然的條件（見拓撲動力系統），則得一動力系統。這時，過每一點x∈X有一條軌線，即集合{φt(x)|t∈(- ,)}。 如果X是一歐氏空間，或較廣地是一光滑流形,且動力系統φt:X→X在每一x∈X處對t可微:,則稱這系統為常微分方程組或常微系統S 所產生。其逆，若X是緊緻光滑流形,其上先給有一C1常微系統S 則據基本的常微分方程理論，S 恆產生一動力系統。這裡,S 是C 1的，即S 對x連續地可微。 如上所述，動力系統理論與常微分方程定性理論中所探討的內容似無多大的區分，然而有不同的側面，動力系統着重在抽象系統而非具體方程的定性研究，其研究辦法着眼於一族軌線間的相互關係，換言之，是整體性的。這整體性有些是拓撲式的,也有些是統計式的;後者主要是遍歷性。動力系統理論是經典常微分方程式論的一種發展。