態疊加原理
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在量子力學裏，態疊加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。
從數學表述，態疊加原理是薛丁格方程式[1] 的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。
更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量A，而可觀察量A的本徵態|a_1\rang、|a_2\rang分別擁有本徵值a_1、a_2，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang也可以是這量子系統的量子態；其中，c_1、c_2分別為疊加態處於本徵態|a_1\rang、|a_2\rang的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量A，則測量獲得數值是a_{1}或a_{2}的機率分別為|c_{1}|^2、|c_{2}|^2，期望值為\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2。
舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。
再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態|0 \rangle 與|1 \rangle 的線性疊加。這兩個基底態|0 \rangle 、|1 \rangle 的本徵值分別為0、1。
目錄
理論
在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 |f_1\rang或|f_2\rang ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合|f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，c_1、c_2是複值係數，為了歸一化|f\rang，必須讓|c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1。
假設\theta為實數，則雖然e^{i\theta}|f_2\rang與|f_2\rang標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，|f_1\rang+|f_2\rang、|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang分別標記兩種不同的量子態。但是，|f_1\rang+|f_2\rang</math>和<math>e^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang)都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。
電子自旋範例
設想自旋為1/2的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態|\uparrow \rang與下旋態|\downarrow \rang，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：
- |\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang；
其中，c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分別是複值係數，為了歸一化|\psi\rang，必須讓|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。
這是最一般的量子態。係數c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：
- p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2、
- p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2 。
總機率應該等於1： p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。
這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：
- |\psi\rangle = {3i\over 5} |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang。
電子處於上旋態或下旋態的機率分別為
- p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}、
- p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}。
再次注意到總機率應該等於1：
- p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1。
非相對論性自由粒子案例
- - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)；
其中，\hbar是約化普朗克常數，\Psi(\mathbf{r},t)是粒子的波函數，\mathbf{r}是粒子的位置，t是時間。
這薛丁格方程式有一個平面波解：
- \Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}；
代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
- \frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega。
由於粒子存在的機率等於1，波函數\Psi(\mathbf{r},t)必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：
- \Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}；
其中，積分區域\mathbb{K}是\mathbf{k}-空間。
為了方便計算，只思考一維空間，
- \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k ；
其中，振幅A(k)是量子疊加的係數函數。
逆反過來，係數函數表示為
- A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x ；
其中，\Psi(x,0)是在時間t=0的波函數。
所以，知道在時間t=0的波函數\Psi(x,0)，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數\Psi(x,t)。