态叠加原理

态叠加 图片来自学习岛

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的机率是对应权值的绝对值平方。

从数学表述，态叠加原理是薛丁格方程式 的解所具有的性质。由于薛丁格方程式是个线性方程式，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的机率之后，所有乘积的总和。

更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量A，而可观察量A的本征态|a_1\rang、|a_2\rang分别拥有本征值a_1、a_2，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang也可以是这量子系统的量子态；其中，c_1、c_2分别为叠加态处于本征态|a_1\rang、|a_2\rang的机率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量A，则测量获得数值是a_{1}或a_{2}的机率分别为|c_{1}|^2、|c_{2}|^2，期望值为\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2。

举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例，在量子运算里，量子位元是的两个基底态|0 \rangle 与|1 \rangle 的线性叠加。这两个基底态|0 \rangle 、|1 \rangle 的本征值分别为0、1。

目录

理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程式的任意几个解所组成的线性组合也是这方程式的解。由于薛丁格方程式是线性方程式，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 |f_1\rang或|f_2\rang ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛丁格方程式。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合|f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang，也满足同样的薛丁格方程式；其中，c_1、c_2是复值系数，为了归一化|f\rang，必须让|c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1。

假设\theta为实数，则虽然e^{i\theta}|f_2\rang与|f_2\rang标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，|f_1\rang+|f_2\rang、|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang分别标记两种不同的量子态。但是，|f_1\rang+|f_2\rang</math>和<math>e^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang)都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。

电子自旋范例

设想自旋为1/2的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态|\uparrow \rang与下旋态|\downarrow \rang，它们的量子叠加可以用来表示量子位元：

|\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang；

其中，c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分别是复值系数，为了归一化|\psi\rang，必须让|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。

这是最一般的量子态。系数c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分别给定电子处于上旋态或下旋态的机率：

p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2、

p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2 。

总机率应该等于1： p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

|\psi\rangle = {3i\over 5} |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang。

电子处于上旋态或下旋态的机率分别为

p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}、

p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}。

再次注意到总机率应该等于1：

p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1。

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛丁格方程式为

- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)；

其中，\hbar是约化普朗克常数，\Psi(\mathbf{r},t)是粒子的波函数，\mathbf{r}是粒子的位置，t是时间。

这薛丁格方程式有一个平面波解：

\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}；

其中，\mathbf{k}是波向量，\omega是角频率。

代入薛丁格方程，这两个变数必须遵守关系式

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega。

由于粒子存在的机率等于1，波函数\Psi(\mathbf{r},t)必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}；

其中，积分区域\mathbb{K}是\mathbf{k}-空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k ；

其中，振幅A(k)是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x ；

其中，\Psi(x,0)是在时间t=0的波函数。

所以，知道在时间t=0的波函数\Psi(x,0)，通过傅立叶变换，可以推导出在任何时间的波函数\Psi(x,t)。