整除
整除，若整數a除以非零整數b，商為整數，且餘數 為零， 我們就說a能被b整除(或說b能整除a)，a為被除數，b為除數，即b|a("|"是整除符號)，讀作"b整除a"或"a能被b整除"。a叫做b的倍數，b叫做a的約數(或因數)。整除屬於除盡的一種特殊情況。[1]
| 整除 | |
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目錄
整除的概念
整除與除盡既有區別又有聯繫。除儘是指數a除以數b(b≠0)所得的商是整數或有限小數而餘數是零時，我們就說a能被b除盡(或說b能除盡a)。因此整除與除盡的區別是，整除只有當被除數、除數以及商都是整數，而餘數是零。除盡並不局限於整數範圍內，被除數、除數以及商可以是整數，也可以是有限小數，只要餘數是零就可以了。它們之間的聯繫就是整除是除盡的特殊情況。
整除的性質
①若a|b，a|c，則a|(b±c)。[2]
②若a|b，則對任意c(c≠0)，a|bc。
③對任意非零整數a，±a|a=±1。
④若a|b，b|a，則|a|=|b|。
⑤如果a能被b整除，c是任意整數，那麼積ac也能被b整除。
⑥如果a同時被b與c整除，並且b與c互質，那麼a一定能被積bc整除，反過來也成立。
對任意整數a，b，b>0，存在唯一的數對q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，這個事實稱為帶餘除法定理，是整除理論的基礎。
若c|a，c|b，則稱c是a，b的公因數。若d是a，b的公因數，d≥0，且d可被a，b的任意公因數整除，則d是a，b的最大公因數。若a，b的最大公因數等於1，則稱a，b互素，也稱互質。累次利用帶餘除法可以求出a，b的最大公因數，這種方法常稱為輾轉相除法。又稱歐幾里得算法。
運算技巧
能被整除的數有以下辨別方法:
常用辨別方法
(1)1與0的特性:
1是任何整數的約數，即對於任何整數a，總有1|a。
0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0。
(2)能被2整除的數的特徵
若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。
(3)能被3整除的數的特徵
1、若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
2、由相同的數字組成的三位數、六位數、九位數……這些數字能被3整除。如111令3整除。
(4)能被4整除的數的特徵
若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
(5)能被5整除的數的特徵
若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
(6)能被6整除的數的特徵
若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
(7)能被7整除的數的特徵
1、若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。同能被17整除的數的特徵。
2、末三位以前的數與末三位以後的差(或反過來)。同能被11,13整除的數的特徵。
(8)能被8整除的數的特徵
若一個整數的末尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
(9)能被9整除的數的特徵
若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
(10)能被10整除的數的特徵
若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
(11)能被11整除的數的特徵
若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理!過程唯一不同的是:倍數不是2而是1!
(12)能被12整除的數的特徵
若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
其他辨別方法
(13)能被13整除的數的特徵
若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗和」的過程，直到能清楚判斷為止。
(14)能被17整除的數的特徵
1、若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，同能被7整除的特徵一樣。
2、若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
(15)能被19整除的數的特徵
1、若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果和是19的倍數，則原數能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續使用能被13整除特徵的方法。
2、若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
(16)能被23整除的數的特徵
若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除。
統一方法
設整數x的個位數為a，判斷其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*)，則x=n[10k+(10m+1)a/n]，要使x能被n整除，只要(10m+1)/n為自然數。