格林函數
格林函數是一種用來解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程的函數。在物理學的多體理論中，格林函數常常指各種關聯函數，有時並不符合數學上的定義。
從物理上看，一個數學物理方程是表示一種特定的"場"和產生這種場的"源"之間的關係。例如，熱傳導方程表示溫度場和熱源之間的關係，泊松方程表示靜電場和電荷分布的關係，等等。
這樣，當源被分解成很多點源的疊加時，如果能設法知道點源產生的場，利用疊加原理，我們可以求出同樣邊界條件下任意源的場，這種求解數學物理方程的方法就叫格林函數法。而點源產生的場就叫做格林函數。[1]
目錄
簡介
格林函數法是數學物理方程中一種常用的方法。格林函數是物理學中的一個重要函數。在數學物理方法中，格林函數又稱為源函數或影響函數，是英國人G.格林於1828年引入的。
物理學中單體量子理論所使用的格林函數，其定義稍有擴充。它滿足方程:(E-H)G(r，rt，E)=(r-rt)，其中H是單粒子哈密頓量，可以包括外場及雜質勢等。單格林函數在無序體系研究中有重要應用，例如用平均T矩陣近似、相干勢近似求態密度。
多體量子理論的格林函數自20世紀60年代以來已成為凝聚態理論研究的有力工具。物理當中格林函數常指用於研究大量相互作用粒子組成的體系的多體格林函數。多體格林函數代表某時某地向體系外加一個粒子，又於它時它地出現的幾率振幅。格林函數描寫粒子的傳播行為，又稱為傳播子。
為了研究多粒子體系在大於絕對零度時的平衡態行為，引入了溫度格林函數。由於溫度的倒數和虛時間有形式上的對應，溫度格林函數也稱為虛時間格林函數。為了研究T=0K的非平衡態行為，[kg2]引入了T=0K的時間格林函數及閉路格林函數。
在量子場論中計算具體物理過程的矩陣元時，也常出現格林函數，其物理意義也是代表粒子傳播的幾率振幅。由於多體格林函數T=0K時對應於它，所以量子場論中的費因曼圖解法也可用於多體格林函數。重正化群方法來也用於凝聚態研究中，例如近藤效應、一維導體。
在地震工程學中的應用
格林函數在地震工程學中是計算震源機制的函數。根據其發展和應用可以分為以下幾類。
隨機法是將地震動模擬成有限帶寬白噪聲的一個時間序列，用震源譜代震級、用表示地震波傳播效應因子修正譜的形狀。對於大地震，震源表達為在一個延伸的斷裂面上的剪切位錯，斷裂面上的滑動空間和時間變化用離散的方法表示。其優點是對於高頻段（>1Hz）可以得到滿足工程要求的近場地震動估計；缺點是對於低頻段（<1Hz）往往估計過高。
經驗格林函數法是運用包含斷層上一個點源動力學破裂的複雜效應、震源主場地速度結構的不均勻性影響的小震記錄來疊加合成較大地震的地震動時程。其優點是信度較高、較為可靠；可是其缺點同樣突出，即對小震記錄的要求相當苛刻，必須具有與大震相同的震源機制，小震記錄的信噪比要高等等。如果在震源區找不到良好的小震記錄，就不能用經驗格林函數法。
理論格林函數的計算是一個相當複雜的過程，理論只有對水平成層介質推導的解析公式。計算要藉助計算機實現，且介質層數受到很大的限制，很少有多於兩覆蓋層的結果發表。
與實際地震動觀測記錄的比較表明，這種在時域合成的地震動模擬，對持時、峰值加速度、短周期（1秒以下）反應譜幅值的預測精度都可以在大約-50%範圍內，與經驗模型的精度大體相當；對峰值速度和周期大於1秒的反應譜幅值，預測的誤差要比經驗模型的小。
解析法
除了以上介紹的幾種格林函數的數值方法，還有解析法。解析法只能用來計算橫向成層介質的格林函數，再考慮計算時間及計算方法的穩定性方面計算的層數是優先的，對較複雜的局部場地條件則無能為力。張冬麗在對格林函數的解析法和數值法對比研究後得出以下結論：
（1）無論是單一點源或是有限斷層模型，利用解析法和有限差分法所得出的結果是一致的，二者均可以反映出震源、波的傳播途徑和場地特性（斷裂和上覆蓋層速度結構）。
（2）解析法用於橫向成層介質的格林函數較為簡便，對於地形及速度結構較為複雜的局部場地條件的格林函數，用數值模擬的方法更為合適，故兩種計算方法的結合可為計算較深震源及較大的計算區域打下基礎。
（3）基於射線理論和波動有限元數值模擬，採用雙力偶點源模型計算斷層在斷層頂面引起的地震影響場（解析法），並將其作為斷層上覆蓋層的波動有限元數值模擬的入射場，計算（數值法）得到的格林函數是合理的。它可以兼顧波的傳播途徑與場地波速層與地形的複雜性，同時大大減小了計算量，提高了計算速度，也可保證模擬的穩定性和精度，為進一步計算斷層運動在局部場地引起的土層地震反應提供了必不可少的條件。
發展趨勢
強震觀測數據分析表明，在高頻和低頻兩個不同頻段內，地震動特徵顯著不同。高頻段充分表現地震動的隨機性，低頻段主要受傳播途徑和局部場地條件的影響。根據上述幾種格林函數方法的優缺點，選擇用隨機法估計得高頻地震動和用理論或數值格林函數方法模擬的低頻的地震動在時域疊加，是現今對于格林函數方法模擬和預測地震動的發展趨勢。
視頻
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參考文獻
- ↑ 格林函數（Green’s function）， CSDN技術社區，2020-12-02