梯度
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中文名: 梯度 外文名: gradient 学 科: 微积分学 适用范围: 数理科学 相关概念: 方向导数 性 质: 向量 |
梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。[1]
目录
定义
设二元函数 ,即有： gradf（x，y）= 其中 。 设
是方向l上的单位向量，则
由于当方向l与梯度方向一致时，有 所以当l与梯度方向一致时,方向导数
有最大值，且最大值为梯度的模，即
因此说，函数在一点沿梯度方向的变化率最大，最大值为该梯度的模。
推广
梯度的概念可以推广到三元函数的情形。 设三元函数 ，称向量 为函数 ，即 其中。 同样，该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
应用
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如图1。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。