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求真百科

正交

来自 呢图网 的图片

中文名;正交

外文名;Orthogonality

应用学科;数学

适用领域范围;数学

正交是线性代数的概念,是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词,只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0,则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角,则正交可以直观的理解为垂直。物理中:运动的独立性,也可以用正交来解释。[1]

目录

正交的含义

对于一般的希尔伯特空间, 也有内积的概念, 所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。 特别的, 我们有n维欧氏空间中的正交概念, 这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多, 比如正交矩阵、正交补空间、施密特正交化法、最小二乘法等等。

另外在此补充正交函数系的定义:在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0,则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

若内积空间中两向量的内积为0,则它们正交。类似地,若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交,那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交,那么它们互为正交子空间。

正交变换

正交变换

是保持内积的线性变换。即是说,对两个向量,它们的内积等于它们在函数T下的内积:

这也就是说,正交变换保持向量的长度不变,也保持两个向量之间的角度不变。

欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中,两个向量正交当且仅当他们的点积为零,即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中,一条直线的正交子空间是一个平面,反之亦然。四维空间中,一条直线的正交子空间则是一个超平面

正交函数集

对于两个函数f和g,可以定义如下的内积:

这里引进一个非负的权函数。这个内积叫做带权{\displaystyle w(x)}的内积。

两个函数带权{\displaystyle w(x)}正交,是指它们带权

的内积为零。

由此可以类似定义带权{\displaystyle w(x)}的模。

一个函数列{fi:i= 1, 2, 3, ... }如果满足:

其中

为克罗内克函数, 那么{fi}就称为带权{\displaystyle w(x)}的正交函数族。

进一步地,如果{fi}满足:

的标准正交函数族。

参见正交多项式

参看

正交化

Gram-Schmidt正交化

正交分解

正交矩阵

正交基

垂直

参考来源

cad全套视频教程中正交是什么意思sdsd

参考资料

  1. 正交是什么意思?,360问答 , 2014年8月15日