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海森堡绘景

海森堡
图片来自独立评论

海森堡绘景(Heisenberg picture)是量子力学的一种表述,因物理学者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡绘景里,对应于可观察量[1]算符会随著时间流易而演化,而描述量子系统的态向量则与时间无关。使用海森堡绘景,可以很容易地观察到量子系统与经典系统之间的动力学关系。

海森堡绘景与薛丁格绘景狄拉克绘景不同。在薛丁格绘景里,描述量子系统的态向量随著时间流易而演化,而像位置动量一类的对应于可观察量的算符则不会随著时间流易而演化。在薛丁格绘景里,假若势能与时间有关,V=V(t),则哈密顿算符H=\frac{P^2}{2m}+V(t)也与时间有关。在狄拉克绘景里,态向量与对应于可观察量的算符都会随著时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归,所获得的结果完全一致。这是必然的,因为它们都是在表达同样的物理现象。

目录

概述

为了便利分析,位于下标的符号{H} 、{S}分别标记海森堡绘景、薛丁格绘景。

在量子力学的海森堡绘景里,态向量\psi \rang_{H} 不含时,而可观察量的算符A_{H}则含时,并且满足“海森堡运动方程式”:

\frac{t}A_{H}={1 \over i\hbar}[A_{H},\, H];

其中,\hbar是约化普朗克常数,H是哈密顿量,[ A_{H},\, H]是A_{H}与H的对易算符

从某种角度来看,海森堡绘景比薛丁格绘景显得更为自然,更具有基础性,因为,经典力学分析物体运动所使用的物理量是可观察量,例如,位置、动量等等,而海森堡绘景专注的就是这些可观察量随著时间流易的演化。进一步来看,海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到:只要将对易算符改为帕松括号,海森堡方程式立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程式,其形式表示为

\frac{\partial}{t}A=[A,\, H]_{Poisson};

其中,[\ ,\,\ ]_{Poisson}是帕松括号

通过狄拉克量子化条件|canonical quantization,可以从哈密顿力学的运动方程式得到海森堡运动方程式:

[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to\ \frac{[\ ,\, \ ]}{i\hbar} 。

史东-冯诺伊曼理论|Stone-von Neumann theorem证明海森堡绘景与薛丁格绘景是等价的。

参考文献