點集
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點集如:點用(x,y)表示。許多的點放在一起就組合成了點集。而{(1,1), (1,-5), (a,b),…, (-2,-3)}指(1,1), (1,-5),(a,b),…, (-2,-3)這些點放在一起組成的集合。
基本信息
中文名 點集 [1]
外文名 Point Set
介紹
如:{(x,y)|y=x+1}指在直線y=x+1上的所有點的集合。
點集是集合
從形式上來說，"點集是集合而不是函數"這句話是大致是對的。函數是二元的數學關係(二元組)，一般它的定義需要藉助集合來描述。點集只是元素是點的集合(由點構成的"一元組")，不是關係，因此不是函數。
但如果把點集作為某個集合的子集考慮，它的元素可以是以坐標形式表示的點(分成自變量和值這兩組)，可以當作二元組而成為數學關係，因此又可能符合函數的定義，從而是函數。這時候點的表示形式(坐標--兩組數)本身就蘊涵了函數的要素--自變量和值。
狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)給出的數學分析意義上的函數的正式定義(抄自中文Wiki`pedia):
從輸入值集合X 到可能的輸出值集合Y 的函數f(記作 f : X → Y)是X與Y的關係，滿足如下條件:
f 是完全的:對集合X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 滿足x f y (x 與y 是f 相關的)。即，對每一個輸入值，Y 中都有且只有一個與之對應的輸出值。
f 是多對一的:若x f y 且x f z ，則y = z 。即，多個輸入可以映射到一個輸出，但一個輸入不能映射到多個輸出。
定義域中任一x 在對映域中唯一對應的y 記為f(x)。
比上面定義更簡明的表述如下:從X 映射到Y 的函數f 是X 與Y 的直積X × Y 的子集。X 中任一x 都與Y 中的y 唯一對應，且有序對(x, y)屬於f 。
X與Y的關係若滿足條件(1)，則為多值函數。函數都是多值函數，但多值函數不都是函數。X與Y的關係若滿足條件(2)，則為偏函數。函數都是偏函數，但偏函數不都是函數。
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k元數學關係的形式定義(資料出處同上):
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k 元關係在數學上有兩種常見的定義。
定義1 在集合 X1、…、Xk 上的關係 L 是指集合的笛卡兒積的子集，寫成 L X1 × … × Xk。因此，在此定義下， k 元關係簡單是個 k 元組。
第二個定義用到數學上一個常見的習慣-說"某某為一 n 元組"即表示此一某某數學物件是由 n 組數學物件的描述來判定的。在於集合 k 上的關係 L中，會有 k+1 件事要描述，即 k 個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下， L 可以說是一個 k'+1 元組。
定義2 在集合 X1、…、Xk 上的關係 L 是一個 k+1 元組 L = (X1, …, Xk, G(L)) ，其中 G(L) 是笛卡兒積X1 × … × Xk的子集，稱之為 L 的"關係圖"。
以上說的函數是映射的同義詞。至於中學範圍內說的函數，只是指定義域和值域都包含於實數集的一元(單值)函數(順便忽略了對映域的概念)。
參考來源